[总结]最短路径算法

Posted 2021-03-13 hellojamest

所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

迪杰斯特拉算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。另外，要注意D算法是无法解决负权重问题的，所以图的权重必须为正。
首先，我们引入一个辅助向量(D)，它的每个分量(D[i])表示当前找到的从起始节点(v)到终点节点(v_i)的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点(v)到节点(v_i)有弧，则(D[i])为弧上的权值，否则(D[i])为(∞)，显然，长度为(D[j] = Min{D[i] | v_i ∈V})的路径就是从(v)出发最短的一条路径，路径为((v, v_i))。
那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是(v_k)，则可想而知，这条路径或者是((v, v_k))或者是((v, v_j, v_k))。它的长度或者是从(v)到(v_k)的弧上的权值，或者是(D[j])与从(v_j)到(v_k)的权值之和。

一般情况下，假设(S)为已知求得的最短路径的终点集合，则可证明：一条最短路径（设其终点为(x)）或者是弧((v, x))或者是中间只经过(S)中的顶点而最后到达顶点(x)的路径。这可用反证法来证明，假设此路径上有一个顶点不在(S)中，则说明存在一条终点不在(S)中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为，我们是按路径长度的递增次序来产生个最短路径的，故长度比此路径短的所有路径均已产生，他们的终点必定在(S)集合中，即假设不成立。

因此，Dijkstra算法描述如下：
假设存在(G=<V,E>)，源顶点为(V_0)，(S={V_0}),(distance[i])记录(V_0)到(i)的最短距离，(matrix[i][j])记录从(i)到(j)的边的权值，即两点之间的距离。
1）从(V-S)中选择使(dist[i])值最小的顶点(i)，将(i)加入到(U)中；
2）更新与(i)直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3）直到(S=V)，所有顶点都包含进来了，算法停止。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下：

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
V = 7
# 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
used = [False for _ in range(V)]
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
distance = [float('inf') for _ in range(V)]
# cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值，不存在时设为INF
cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]


def dijkstra(s):
    distance[s] = 0
    while True:
        # v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
        v = -1
        # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for u in range(V):
            if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                v = u
        if v == -1:
            # 说明所有顶点都维护到S中了！
            break

        # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
        used[v] = True
        # 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
        for u in range(V):
            distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])


if __name__ == '__main__':
    for _ in range(12):
        v, u, w = list(map(int, input().split()))
        cost[v][u] = w
    s = int(input('请输入一个起始点：'))
    dijkstra(s)
    print(distance)

Floyd（弗洛伊德）算法

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法，可以正确处理有向图或无向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
从任意节点(i)到任意节点(j)的最短路径不外乎2种可能：1)直接从节点(i)到节点(j)，2)从节点(i)经过若干个节点(k)到节点(j)。所以，我们假设(arcs(i,j))为节点(i)到节点(j)的最短路径的距离，对于每一个节点(k)，我们检查(arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j))是否成立，如果成立，证明从节点(i)到节点(k)再到节点(j)的路径比节点(i)直接到节点(j)的路径短，我们便设置(arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j))，这样一来，当我们遍历完所有节点(k)，(arcs(i,j))中记录的便是节点(i)到节点(j)的最短路径的距离。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下：

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
n = 4
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
matrix = [[float('inf') for j in range(n)] for i in range(n)]

def floyd(matrix,n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                matrix[j][k] = min(matrix[j][k], matrix[j][i] + matrix[i][k])
    return matrix


if __name__ == '__main__':
    matrix[0][1] = 3
    matrix[1][2] = 1
    matrix[2][3] = 1
    matrix[1][3] = 4
    for i in range(n):
        matrix[i][i] = 0
    res = floyd(matrix,n)
    print(res)

参考：
Python实现迪杰斯特拉算法
最短路径问题：Dijkstra与Floyd算法