Educational Codeforces Round 80 (Div. 2)

Posted 2021-03-13 tianwell

D. Minimax Problem

题意 && 思路

题意：
给出 n 个长度为 m 的序列（1 ≤ n ≤ 3*1e5, 1≤ m ≤8 ），对于序列中的每一个元素 a,(0≤a≤1e9)
现在你要求出，对于所有任意两行序列为一组（或则自己本身成为一组），进行（两个序列的同一个位置取最大值放到新序列中）操作形成新的序列，再从新的序列中选取最小值作为ans,最后要对所有可能组成的ans中输出最大的ans.
思路：
说实话没有想到用二分加二进制压缩表示来求解。二分倒是可以想到，毕竟正向 把两两所有枚举都是 O( n^2 )了，所以就容易想着反向去求解答案。
题解给的是：二分去选取一个数（作为假设的最终答案），把 序列中比这个数小的 记为0,大于等于这个数记为1. 最后就可以得到一个（0~2^m-1）范围类的二进制数。
也就是说本来我们需要 O( n^2 )去匹配的，现在状态压缩用二进制去等同表示后只需要O( m^2 )去验证，而m的范围为 1≤ m ≤8，所以就大大降低了复杂度。
而验证该数 X 是答案的规则即是，是否存在两个二进制数，最后 或 的结果为 全1 .（因为由于取得是最大序列的最小值，如果两个序列或为1，那么这两个序列中必然能够选出一个大于等于X 的序列）
例如：下面两个序列红色表示对应位置的值更大(假设选取的 x 能作为答案)。
a b  c  d  e   ->  1 0 1 0 1
A B C  D  E   -> 0 1 1 1 0

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code :

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=3e5+10;
int n,m,a[MAXN][10],mark[300],pos1,pos2,ans1,ans2;

//bitmasks 
bool check(int x){
    pos1 = 0,pos2 = 0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tot = 0;
        for(int j=0;j<m;j++){
            if(x<=a[i][j]) tot += (1<<j); 
        }
        mark[tot] = i;
    }
    for(int i=1;i<= (1<<m)-1;i++){
        for(int j=i; j<= (1<<m)-1;j++){
            if((i|j)== (1<<m)-1&&mark[i]&&mark[j]) {
                pos1 = mark[i];
                pos2 = mark[j];    
            }
        }
    }
    return pos1&&pos2;
}

//binary search
int BS(int l,int r){ 
    int mid;
    while(l<=r){
        mid = (l+r)>>1;
        if(check(mid)) l = mid+1,ans1 = pos1,ans2 = pos2;
        else r = mid-1;
    }
    return l;
} 

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    int l=0,r=1e9;
    l = BS(l,r);
    printf("%d %d
",ans1,ans2);
    return 0;
}

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