树状数组与线段树

Posted 2021-03-13 xiaofengzai

树状数组：

一共需要三个函数：

①lowbit（int x）

②add（int x，int p）

③query（int x）

1.动态求连续区间和

给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b]的连续和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。

第二行包含 n 个整数，表示完整数列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。

数列从 1 开始计数。

输出格式

输出若干行数字，表示 k=0时，对应的子数列 [a,b]的连续和。

数据范围

1≤n≤100000
1≤m≤100000
1≤a≤b≤n

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输出样例：

11
30
35

 解题思路：一道入门级题目，利用树状数组来进行求解

 

 代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N],tr[N];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int p)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        tr[i]+=p;
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=tr[i];
    return ans;
}
int main()
{
    int i,j,x,y,k;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for(i=1;i<=n;i++)
        add(i,a[i]);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>k>>x>>y;
        if(k==1)
        {
            add(x,y);
        }
        else
        {
            cout<<query(y)-query(x-1)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

2.数星星

天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。

如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 kk 颗星星，就说这颗星星是 kk 级的。

例如，上图中星星 5 是 3级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。

例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级，1 个 2 级，1 个3 级的星星。

给定星星的位置，输出各级星星的数目。

换句话说，给定 N 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。

输入格式

第一行一个整数 N，表示星星的数目；

接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y 表示；

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。

输出格式

N 行，每行一个整数，分别是 0 级，1 级，2 级，……，N−1 级的星星的数目。

数据范围

1≤N≤15000,
0≤x,y≤32000

输入样例：

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

输出样例：

1
2
1
1
0
解题思路：这道题只需要根据x坐标来建立树状数组，求由于树状数组下标从1开始，故在读入时x坐标要加1，先统计在该星星前有多少个星星，在进行add操作，加上这颗星星
类似于求小于x的横坐标个数的前缀和。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N=32010;
int tr[N],level[N];

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int t)
{
    for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i))
        tr[i]+=t;
}
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=tr[i];
    return ans;
}
int main()
{
    int i,j,n,x,y;
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x++;
        level[query(x)]++;
        add(x,1);
    }
    for(i=0;i<n;i++)
        printf("%d
",level[i]);
    return 0;
}

线段树操作

①pushup：用字节点信息更新当前节点信息

②build：在一段区间上初始化线段树

③modify：修改

④query：查询

线段树模拟：

 

 

 1.动态求连续区间和

线段树做法：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int w[N];
struct node
{
    int l,r;
    int sum;
}tr[N*4];

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum=tr[u*2].sum+tr[u*2+1].sum;
}

void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r)
        tr[u]={l,r,w[r]};
    else
    {
        tr[u]={l,r};
        int mid=l+r>>1;
        build(u*2,l,mid),build(u*2+1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

int query(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
        return tr[u].sum;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    int sum=0;
    if(l<=mid)
        sum=query(u*2,l,r);
    if(r>mid)
        sum+=query(u*2+1,l,r);
    return sum;
}
void modify(int u,int x,int v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r)
        tr[u].sum+=v;
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid)
            modify(u<<1,x,v);
        else
            modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}
int main()
{
    int i,j,k,x,y;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i];
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        cin>>k>>x>>y;
        if(k==0)
            cout<<query(1,x,y)<<endl;
        else
            modify(1,x,y);
    }
    return 0;
}

2.数列区间最大值

输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。

输入格式

第一行两个整数 N,M 表示数字的个数和要询问的次数；

接下来一行为 N 个数；

接下来 M 行，每行都有两个整数 X,Y。

输出格式

输出共 M 行，每行输出一个数。

数据范围

1≤N≤105,
1≤M≤106
1≤X≤Y≤N
数列中的数字均不超过2³¹−1

输入样例：

10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8

输出样例：

5
8

解题思路：根据线段树来处理，此时结构体里应该添加的一个数是maxn，来记录当前的最大值，在建树时更新当前树根的最大值，
在算区间最大值时，先判断左右是否在区间内，若不在判断该点的mid与左右区间是否有交集，然后取最大的。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int w[N];
struct node
{
    int l,r;
    int maxn;
}tr[N*4];

void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r)
        tr[u]={l,r,w[r]};
    else
    {
        tr[u]={l,r};
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
        tr[u].maxn=max(tr[u*2].maxn,tr[u*2+1].maxn);
    }
}

int query(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
        return tr[u].maxn;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
    int ans=INT_MIN;
    if(l<=mid)
        ans=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid)
        ans=max(ans,query(u<<1|1,l,r));
    return ans;
}

int main()
{
    int n,m,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    build(1,1,n);
    int l,r;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d
",query(1,l,r));
    }
    return 0;
}