省选模拟13

Posted 2021-03-13 hzoi-cbx

A. 同桌的你

　　考试的时候大概一上来就会了，然而感觉非常麻烦，不想打。等到最后剩1个半小时的时候开始打，到最后也没调出来，非常自闭。

　　不难发现将关系连边得到的是一棵基环树，所以可以考虑断掉环上任意一条边，然后分选择这条边和不选这条边分别做一次树形dp即可。

　　对于输出方案，考虑记录转移的前驱，之后再dfs一遍输出答案。

B. 大水题

　　考虑枚举每一种颜色方案，将所有颜色的数量与第一种颜色的数量做差，那么区间[i，j]合法的条件是[1,i]和[1,j]差分之后相同，可以使用hash来完成这个过程。

　　然而暴力的复杂度是$O(n*2^8)$，听上去就很不对。

　　所以考虑优化。

　　对于一个确定的右端点，可能有贡献的方案只有8种，所以考虑只维护这8种方案。

　　枚举右端点，在右端点右移的时候，找到当前右端点颜色的前驱，只需要修改这一段即可。

　　复杂度均摊$O(8n)$

C. 佛罗里达

　　考场上大概想到了40分的暴力做法，可是没有想到2-sat，以为并查集也能实现这些操作。

　　考虑枚举其中一个集合的权值大小，对于另外一个集合权值显然可以二分，考虑如何检验是否存在合法解。

　　将边按照与两个集合权值大小的关系分类，分别对应随便选，不同时选，选一个，是显然的2-sat模型，tarjan判断即可。

　　考虑如何优化这个东西。

　　求出来一棵最大生成树，那么生成树上的边一定可以作为集合的权值。

　　否则，将树黑白染色，若某一条非树边连接了两个颜色不同的点，那么必然不是最大的。

　　所以，集合的权值只能是树边或者全部为颜色相同的点时的贡献。

　　枚举即可，$O(n^3logn)$