[SHOI 2013]超级跳马

Posted 2021-03-13 navi-awson

Description

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现有一个 (n) 行 (m) 列的棋盘，一只马欲从棋盘的左上角跳到右下角。每一步它向右跳奇数列，且跳到本行或相邻行。跳越期间，马不能离开棋盘。试求跳法种数，取模。

(1leq nleq50,2leq mleq 10^9)

Solution

令 (f_{i,j}) 表示在第 (i) 列第 (j) 行的方案数。那么，(f_{i,j}=sumlimits_{k=1}^i ext{odd}(i-k)cdot(f_{k,j-1}+f_{k,j}+f_{k,j+1}))。

显然如果我们分奇偶做一个前缀和的话就可以 (O(1)) 转移。

由于 (n) 比较大，并且决策（转移）比较少，那么我们考虑用矩乘法优化。构造 (1 imes n) 的状态矩阵 (mathbf{A_n})，第 (1) 行第 (i) 列表示从左上角到 ((n,i)) 有多少种方法。

显然 (mathbf{A_n}[1][1]=1)。构造状态矩阵 (mathbf{S}=egin{bmatrix}mathbf{A_n} &mathbf{A_{n-1}}end{bmatrix})。

再构造转移矩阵 (mathbf{T}=egin{bmatrix}mathbf{V} &mathbf{I}\mathbf{I} &0end{bmatrix})。其中 (mathbf V) 是转移矩阵，用来记录 DP 的转移方程。右上角的单位矩阵是用来累加前缀和到下一个状态矩阵上的。左下角的单位矩阵是将当前的 (mathbf{A_n}) 变成下一个状态矩阵的 (mathbf{A_{n-1}})。

于是矩阵优化即可。注意由于做的是前缀和，所以最后输出时要做一次差分来算出最后一列的方案数。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, yzh = 30011;

int n, m;
struct mat {
    int a[N][N];
    mat () {memset(a, 0, sizeof(a)); }
    mat operator * (const mat &b) const {
        mat ans;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                for (int k = 1; k <= n; k++)
                    (ans.a[i][j] += a[i][k]*b.a[k][j]%yzh) %= yzh;
        return ans;
    }
} S, T, B;

void qpow(int b) {
    while (b) {
        if (b&1) S = S*T;
        b >>= 1, T = T*T;
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S.a[1][1] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        T.a[i][i+n] = T.a[i+n][i] = T.a[i][i] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        T.a[i+1][i] = T.a[i][i+1] = 1;
    B = T;  n <<= 1;
    qpow(m-2);
    printf("%d
", ((S*B).a[1][n>>1]-S.a[1][n]+yzh)%yzh);
    return 0;
}