@codeforces - 668E@ Little Artem and 2-SAT

Posted 2021-03-13 tiw-air-oao

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@description@

给定两个 2-sat 问题，询问两个问题的解集是否相同。

如果不相同，构造一组解 {xi}，使得这个解是其中一个问题的解同时不是另一个问题的解。

原题链接。

@solution@

如果两者解集都为空，那么解集相同。
如果两者只有一个解集为空，则取另一个问题的任意解即可。

如果都有解，先跑个 bitset 优化的传递闭包，方便接下来的处理。

此时有一些变量的值是确定的（即可以从该变量的 0/1 状态到达该变量的 1/0 状态）。
如果有一个变量在问题 A 中确定而在问题 B 中不确定，则强制令 B 中该变量的值为 A 中值取反，暴力求此时 B 中的任意解。
如果有一个变量在两个问题中都确定但是确定的值不同，直接取问题 A 的任意解即可。

现在确定的变量都长一样了。但是不确定的变量可能相互制约，所以还是不能断定两个问题解集相同。

如果两个不确定的变量对应的结点 u, v，在问题 A 中有边相连 u -> v，在问题 B 中没有边相连，我们就可以构造出一组解。
在问题 B 中强制令 u 为真，v 为假，构造出 B 的任意解，该解在 A 中一定不成立。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 2000;

bitset<MAXN>G[2][MAXN]; int n;

int abs(int x) {return x >= 0 ? x : -x;}

bool f[2]; int a[2][MAXN + 5];
void get(int o) {
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if( a[o][i] == -1 ) {
            for(int j=0;j<n;j++)
                if( (a[o][j] == 0 && G[o][i<<1|1][j<<1|1]) || (a[o][j] == 1 && G[o][i<<1|1][j<<1]) ) {
                    a[o][i] = 0;
                    break;
                }
            if( a[o][i] == -1 ) a[o][i] = 1;
        }
        printf("%d ", a[o][i]);
    }
    exit(0);
}

int main() {
    int m[2]; scanf("%d%d%d", &n, &m[0], &m[1]);
    for(int o=0;o<2;o++) {
        for(int i=1;i<=m[o];i++) {
            int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
            int p = (a < 0), q = (b < 0); a = abs(a) - 1, b = abs(b) - 1;
            G[o][a<<1|p][b<<1|(!q)] = true, G[o][b<<1|q][a<<1|(!p)] = true;
        }
        for(int i=0;i<(n<<1);i++) G[o][i][i] = true;
        for(int k=0;k<(n<<1);k++)
            for(int i=0;i<(n<<1);i++)
                if( G[o][i][k] ) G[o][i] |= G[o][k];
        for(int i=0;i<n;i++) {
            if( G[o][i<<1][i<<1|1] && G[o][i<<1|1][i<<1] ) {
                f[o] = true;
                break;
            }
            else if( G[o][i<<1][i<<1|1] ) a[o][i] = 1;
            else if( G[o][i<<1|1][i<<1] ) a[o][i] = 0;
            else a[o][i] = -1;
        }
    }
    if( f[0] && f[1] ) puts("SIMILAR");
    else if( f[0] ) get(1);
    else if( f[1] ) get(0);
    else {
        for(int i=0;i<n;i++)
            if( a[0][i] != a[1][i] ) {
                if( a[0][i] == -1 ) a[0][i] = (!a[1][i]), get(0);
                else if( a[1][i] == -1 ) a[1][i] = (!a[0][i]), get(1);
                else get(0);
                return 0;
            }
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++) {
                if( a[0][i] == -1 && a[0][j] == -1 ) {
                    if( G[0][i<<1|1][j<<1|1] != G[1][i<<1|1][j<<1|1] ) {
                        if( G[0][i<<1|1][j<<1|1] == 0 )
                            a[0][i] = 1, a[0][j] = 0, get(0);
                        else a[1][i] = 1, a[1][j] = 0, get(1);
                        return 0;
                    }
                    else if( G[0][i<<1|1][j<<1] != G[1][i<<1|1][j<<1] ) {
                        if( G[0][i<<1|1][j<<1] == 0 )
                            a[0][i] = 1, a[0][j] = 1, get(0);
                        else a[1][i] = 1, a[1][j] = 1, get(1);
                        return 0;
                    }
                    else if( G[0][i<<1][j<<1|1] != G[1][i<<1][j<<1|1] ) {
                        if( G[0][i<<1][j<<1|1] == 0 )
                            a[0][i] = 0, a[0][j] = 0, get(0);
                        else a[1][i] = 0, a[1][j] = 0, get(1);
                        return 0;
                    }
                    else if( G[0][i<<1][j<<1] != G[1][i<<1][j<<1] ) {
                        if( G[0][i<<1][j<<1] == 0 )
                            a[0][i] = 0, a[0][j] = 1, get(0);
                        else a[1][i] = 0, a[1][j] = 1, get(1);
                        return 0;
                    }
                }
            }
        puts("SIMILAR");
    }
}

@details@

注意有一些边界情况，预先给每个结点连个自环。