0x46蓝书习题：普通平衡树

Posted 2021-03-13 a-sc

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了0x46蓝书习题：普通平衡树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Treap/平衡二叉树

蓝书习题：普通平衡树

这道题是一道平衡树模板题，可以用多种解法，这里用最简单的Treap，下面简单说一下各种操作的思路

添加：
当要添加一个值时，先判断所要加入的以p为根节点的子树是否为空，为空添加新的节点:New(val)。当然平衡树，当加入新节点后，子节点dat变得大于a[p].dat时，要旋转，左旋右旋见代码，好理解。

void Insert(int &p,int val){
  if(!p){
      p=New(val);
      return;
  }
  if(val==a[p].val){
      a[p].cnt++,Updata(p);
      return;
  }
  if(val<a[p].val){
      Insert(a[p].l,val);
      if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
  }
  else{
      Insert(a[p].r,val);
      if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
  }
  Updata(p);
}

删除：
平衡树删除要容易，就是将要删除的节点不停旋转到叶子上，再删掉。见代码

void Remove(int &p,int val){
  if(p==0) return;
  if(val==a[p].val){
      if(a[p].cnt>1){     //val这个值有重复，直接减少cnt即可
          a[p].cnt--,Updata(p);
          return;
      }
      if(a[p].l||a[p].r){     //p有子树，不是叶子
          if(a[p].r==0||a[a[p].l].dat > a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);     //左子树长于右子树，向右旋
          else zag(p),Remove(a[p].l,val);
          Updata(p);
      }
      else p=0;               //p是叶子直接删除
      return;
  }
  if(val<a[p].val) Remove(a[p].l,val);
  else Remove(a[p].r,val);
  Updata(p);

}

输出一个值的排名：
根据平衡二叉树的性质，最左边的值最小，那么如果我知道p的左子树siz，那么p的排名就是 a[a[p].l].siz+1,根据这一点。如果val<a[p].val,说明val在左子树中，递归处理左子树。当val>a[p].val,时，递归右子树时返回值要加上p左子树的siz和p的重复次数cnt这是由于递归右子树返回值，表示的是val在右子树中的排名,但是易知，val大于左子树和p的val。
```
int GetRankByVal(int p,int val){
  if(p==0) return 0;
  if(val==a[p].val) return a[a[p].l].siz+1;
  else if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
  return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].siz+a[p].cnt;
}
```

输出某排名的值：
这个看代码吧。

int GetvalByRank(int p,int rak){
  if(p==0) return INF;
  if(a[a[p].l].siz>=rak) return GetvalByRank(a[p].l,rak); 
  if(a[a[p].l].siz+a[p].cnt>=rak) return a[p].val;        
  return GetvalByRank(a[p].r,rak-a[a[p].l].siz-a[p].cnt); 
}
//2.左子树siz>rak,说明排名为rak的节点在左子树中
//3.左子树的siz+p点的cnt>rank，而且左子树的siz<rak，说明排名为rak的就是p点的val
//4.其他就，递归处理右子树,注意要减去左子树siz和p点的重复值

找前驱/后继：
前驱是比val小的最大值，后继是比val大的最小值**

int GetPre(int val){
  int ans=1;
  int p=root;
  while(p){
      if(a[p].val==val){
          if(a[p].l>0){
              p=a[p].l;
              while(a[p].r>0) p=a[p].r;
              ans=p;
          }
          break;
      }
      if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;
      p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
  }
  return a[ans].val;
}

int GetNext(int val){
  int ans=2;
  int p=root;
  while(p){
      if(val==a[p].val){
          if(a[p].r){
              p=a[p].r;
              while(a[p].l>0)p=a[p].l;
              ans=p;
          }
          break;
      }
      if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
      p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
  }
  return a[ans].val;
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MA=1e5+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Treap
{
    int l,r;
    int val,dat;    //val:权值，dat：随机值，用来判断左右旋
    int cnt,siz;    //cnt:记录这个权值的重复次数，siz：子树大小
}a[MA];
int tot,n,root;

int New(int val){
    a[++tot].val=val;
    a[tot].siz=a[tot].cnt=1;
    a[tot].dat=rand();
    return tot;
}

void Updata(int p){
    a[p].siz=a[a[p].l].siz+a[a[p].r].siz+a[p].cnt;
}

void Build(){
    New(-INF),New(INF);
    root=1,a[1].r=2;
    Updata(root);
}

void zig(int &p){
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r,a[q].r=p;
    p=q;
    Updata(a[p].r);
    Updata(p);
}

void zag(int &p){
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l,a[q].l=p;
    p=q;
    Updata(a[p].l);
    Updata(p);
}

void Insert(int &p,int val){
    if(!p){
        p=New(val);
        return;
    }
    if(val==a[p].val){
        a[p].cnt++,Updata(p);
        return;
    }
    if(val<a[p].val){
        Insert(a[p].l,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
    }
    else{
        Insert(a[p].r,val);
        if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
    }
    Updata(p);
}

void Remove(int &p,int val){
    if(p==0) return;
    if(val==a[p].val){
        if(a[p].cnt>1){     //val这个值有重复，直接减少cnt即可
            a[p].cnt--,Updata(p);
            return;
        }
        if(a[p].l||a[p].r){     //p有子树，不是叶子
            if(a[p].r==0||a[a[p].l].dat > a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);     //左子树长于右子树，向右旋
            else zag(p),Remove(a[p].l,val);
            Updata(p);
        }
        else p=0;               //p是叶子直接删除
        return;
    }
    if(val<a[p].val) Remove(a[p].l,val);
    else Remove(a[p].r,val);
    Updata(p);

}

int GetRankByVal(int p,int val){
    if(p==0) return 0;
    if(val==a[p].val) return a[a[p].l].siz+1;
    else if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
    return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].siz+a[p].cnt;
}

int GetvalByRank(int p,int rak){
    if(p==0) return INF;
    if(a[a[p].l].siz>=rak) return GetvalByRank(a[p].l,rak); //左子树siz>rak,说明排名为rak的节点在左子树中
    if(a[a[p].l].siz+a[p].cnt>=rak) return a[p].val;        //左子树的siz+p点的cnt>rank，而且左子树的siz<rak，说明排名为rak的就是p点的val
    return GetvalByRank(a[p].r,rak-a[a[p].l].siz-a[p].cnt); //其他就，递归处理右子树,注意要减去左子树siz和p点的重复值
}

int GetPre(int val){
    int ans=1;
    int p=root;
    while(p){       //子树为处理完
        if(a[p].val==val){      //找到val的节点
            if(a[p].l>0){       //如果p有左子树，那就让p->左子树,然后一直向右子树移动，最后得到的p就是小于val的最大值
                p=a[p].l;
                while(a[p].r>0) p=a[p].r;
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;    //用p的值更新ans,找小于val的最大值
        p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;              //递归合适的子树
    }
    return a[ans].val;
}

int GetNext(int val){
    int ans=2;
    int p=root;
    while(p){
        if(val==a[p].val){
            if(a[p].r){
                p=a[p].r;
                while(a[p].l>0)p=a[p].l;
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
        p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
    }
    return a[ans].val;
}


int main()
{
    Build();
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int opt,x;
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        if(opt==1) Insert(root,x);
        else if(opt==2) Remove(root,x);
        else if(opt==3) printf("%d
",GetRankByVal(root,x)-1);
        else if(opt==4) printf("%d
",GetvalByRank(root,x+1));
        else if(opt==5) printf("%d
",GetPre(x));
        else if(opt==6) printf("%d
",GetNext(x));
    }
    return 0;
}

以上是关于0x46蓝书习题：普通平衡树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

[代码] bzoj 3224 普通平衡树(无旋treap)

bzoj 3224: Tyvj 1728 普通平衡树 && loj 104 普通平衡树（splay树）