高等数学——讲透求极限两大方法，夹逼法与换元法

Posted 2021-03-13 techflow

本文始发于个人公众号：TechFlow

今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。

大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如(frac{1}{n})，当n趋向于无穷大的时候，(frac{1}{n})的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，(n^2)的极限也是无穷大，等等。但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。

夹逼法

夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单，对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:(g(x)leq f(x) leq h(x))。通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。

说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国”。

明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。当下存在数列({x_n})我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列({y_n})和({z_n})。如果它们满足以下两个条件：

1. (exists n_0 in N)，当(n > n_0)时，有(y_n leq x_n leq z_n)。
2. (displaystylelim_{n ightarrow +infty}y_n=a, lim_{n o +infty}z_n=a)

那么，数列({x_n})的极限存在，并且(displaystylelim_{n o +infty}x_n=a)。从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。

证明过程如下：

根据极限的定义，对于数列({x_n})而言，对于任意(epsilon)都存在(n_0 > 0)，使得对于任意：(n > n_0)，都有(|x_n - a| < epsilon)。那么就称数列({x_n})的极限是a。

由于数列({y_n})的极限是a，所以存在(n_1)使得(n > n_1)时，(|y_n -a | < epsilon)。同理，存在(n_2)使得(n > n_2)时，(|z_n -a | < epsilon)。那么对于(n > max(n_1, n_2))显然应该有：(|y_n - a| < epsilon)并且(|z_n - a | < epsilon)。

我们将绝对值展开，可以得到：

[ egin{aligned} a - epsilon &< y_n < a + epsilon a - epsilon &< z_n < a + epsilon end{aligned} ]

我们代入(y_n leq x_n leq z_n)，可以得到：

[ egin{aligned} a - epsilon < y_n leq x_n leq z_n< a + epsilon | x_n -a | < epsilon end{aligned} ]

根据极限的定义，显然可以得到数列({x_n})的极限也是a。

我们利用这个方法来看一个书上的例子，我们都知道当x趋向于0的时候，(x)和(sin x)都趋向于0，但是(frac{sin x}{x})的极限是多少呢？如果猜测一下，两个无穷趋向于0的极限的比值应该是1才对，但是这个只是我们的直观猜测，想要严格证明，还需要使用数学方法。

这个证明就用到了我们刚才说的夹逼法，并且非常巧妙，让我们来看一张下面这张图。

我们假设夹角(angle AOB=x)，这里采用弧度制。我们令圆心OB的长度等于1，那么(BC=sin x)，(OC=cos x)，(AD= an x)。我们下面要用这张图里的几何图形的面积关系，显然：

( riangle AOB)的面积 < 扇形AOB的面积 < ( riangle AOD)的面积。

( riangle AOB)的面积等于(frac{1}{2}*OA*BC=frac{1}{2}sin x)，( riangle AOD)的面积等于(frac{1}{2}*OA*AD=frac{1}{2} an x)。这两个都很容易得出，直接套用三角形面积公式即可。扇形的面积看起来麻烦一些，但其实也很简单，在几何当中，扇形可以看成是特殊的三角形。我们把弧长看成是底面，半径可以看成是高，那么扇形的面积等于(frac{1}{2}*弧长*半径)。所以扇形AOB的面积等于(frac{1}{2}*x*1=frac{1}{2}x)。

我们列出来，可以得到：

[frac{1}{2}sin x < frac{1}{2}x < frac{1}{2} an x]

即：

[sin x < x < an x]

其中( an x = frac{sin x}{cos x})，所以我们可以不等号两边同时除以(sin x)，得到：

[1 < frac{x}{sin x} < frac{1}{cos x}]

由于当x趋向于0的时候(sin x, cos x)都大于0，所以我们可以对不等式互换分子分母，得到：

[cos x < frac{sin x}{x} < 1]

到这里已经结束了，因为我们根据余弦的函数图像可以很容易看出来，当x趋向于0的时候，cosx趋向于1.但为了严谨起见，我们当做不知道这点，继续用数学的方法证明：

我们来计算当x趋向于0的时候，(1 - cos x)的取值范围，当x趋向于0的时候(cos x < 1)，所以(1 - cos x > 0)。我们再对(1 - cos x)变形，这里要引入三角函数当中的和差化积公式：

[cos alpha - cos eta = -2sin frac{alpha + eta}{2}sin frac{alpha - eta}{2}]

由于(cos 0 = 1)，带入和差化积可以得到：

[cos 0 - cos x = -2 sin frac{x}{2}sin -frac{x}{2}=2sin ^2 frac{x}{2}]

我们之前通过面积表示的方法已经证明了当x趋向于0的时候(sin x < x)，所以(2sin ^2 frac{x}{2} < 2 * (frac{x}{2})^2=frac{x^2}{2})。当x趋向于0的时候，显然(x^2)也趋向于0，所以我们可以证明(cos x)的极限是1.

换元法

我们接着来看换元法，学名是复合函数的极限运算法则。定义如下：假设我们有(y = f[g(x)])，我们令(u = g(x))。如果(displaystylelim_{x o x_0}g(x)=u_0, lim_{u o u_0}f(u)=A)，并且在x趋向于(x_0)时，有(g(x) eq u_0)，那么：

[displaystylelim_{x o x_0}f[g(x)]=lim_{u o u_0}g(u)=A]

我们使用极限的定义同样可以很方便地证明它的正确性，这里就不证明了，感兴趣的同学可以试着证明一下。

了解了符合函数的极限运算法则之后，我们再来看一个例子巩固一下。

和上面的例子类似，我们这次求一下:(displaystylelim_{x o 0}frac{1-cos x}{x^2})。

和上面那题一样，我们先使用和差化积对极限的分子进行变换，可以得到：

[displaystylelim_{x o 0}frac{2sin^2frac{x}{2}}{x^2}=frac{1}{2}lim_{x o 0}frac{sin^2 frac{x}{2}}{(frac{x}{2})^2}]

如果通过极限本身的定义来计算这个式子还是蛮复杂的，很难直观地获得答案。这个时候就需要用上换元法了，我们令(u = frac{x}{2})，那么这个极限就可以转化成复合函数极限了。(u=frac{x}{2}, f(u)=frac{sin u}{u})。因为当x趋向于0的时候，u也趋向于0，当u趋向于0的时候，(f(u))趋向于1，所以最终的极限就是1.

通过夹逼法和复合函数的极限替换公式，我们可以很方便地求解一些看起来比较棘手的极限。这也是我们求极限的过程当中使用非常频繁的方法。虽然上文当中的公式看起来有些比较麻烦，但是方法本身并不难，只要沉下心来，一定可以看明白的。

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参考资料

同济大学《高等数学》第六版

程序员的数学