高手训练矩乘T3

Posted 2021-03-13 zqytcl

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<前言>

高手训练矩乘第三题。

有幸分锅，无能无力。

望谅解。

<正文>

题目大意

给你一个k维每维长n的斐波那契数维体。

求值的和。

eg:以下为2维长4的表。

(1)	(2)	(3)	(4)
1	1	2	3
1	2	3	5
2	3	5	8
3	5	8	13

求和即可，题意简单易懂。

(n,kleq5)

直接列出n维表，暴力统计。

预计得分20

（无脑向）

(k=1)

一维数表？好办。

斐波那契前缀和公式：

[ f_1+f_2+……+f_i=f_{i+2}-1 ]

暴力矩乘n+2项，再减一。

基本的斐波那契转移大概可以直接套模板。

预计得分20.

部分分向。

(kleq100)

可能就是不用矩阵快速幂的得分吧，不懂就瞎猜的zqy。

总之我也没写，有兴趣自己写吧。

直接递推的话大概可能似乎就是这个分，我已经懒得思考了。

讲一下递推的思路：

• 设(S(k,i))为第i层k-1维超立方体的总和。这么说十分抽象，关键是高手训练的题解上写的东西不是人能看的，花了我好久时间理解。

举个栗子：

高维的以此类推，相当于将k-1维超立方体看成一大块,k维超立方体中总共有n大块，S就是其中第i大块的价值和。

• 理解这个后。我们发现答案为(S(k+1,1))，k-1与k之间的转移：[egin{aligned}&S(k,0)=sum _{i=0}^{i<n} S(k-1,i)& S(k,1)=sum_{i=1}^{ileq n}S(k-1,i)&S(k,i)=S(k,i-1)+S(k,i-2)[i>=2]end{aligned}]

初值：这个。。。显然啊，等价形式的两种表达而已。

递推：找规律易得cy，别管怎么来的，反正它就是个类斐波那契数列。

然后答案你就可以暴力计算了。预计得分就是这个部分分吧。（瞎猜无证）

(T leq 100,n,k leq 10^9)

看到这个数据范围，少年你们还在等什么，log级算法没跑了啊，矩乘走起。

然后你发现事情十分棘手，对于给定的k，怎么快速计算(sum _{i=1}^{i leq n}S(k,i))呢？

因为每个k的数列都是类f数列，(S(k,i))可以用(aS(k,0)+bS(k,1))表示，a,b为斐波那契数列相邻两项，后边的事大概就是求一个ab的前缀和，瞎搞就成。

矩乘的具体步骤，可以参考

[ egin{bmatrix}F_{i-1}&F_iend{bmatrix}=egin{bmatrix}F_{i-2}&F_{i-1}end{bmatrix} egin{bmatrix} 0 &11&1end{bmatrix}egin{bmatrix}S(k,0)&S(k,1)end{bmatrix}=egin{bmatrix}S(k-1,0)&S(k-1,1)end{bmatrix}egin{bmatrix}F_n&F_{n+1}-1F_{n+1}-1&F_{n+2}-1end{bmatrix} ]

至于上面的转移矩阵，其实是可以根据斐波那契前缀和公式推导得到的。

然后就两个矩乘，完结撒花。

(mathrm{Code:})

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
using namespace std;
int read() 
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while ((c < '0' || c > '9') && c != '-') c = getchar();
    if (c == '-')
        w = -1, c = getchar();
    while (c <= '9' && c >= '0') s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
inline int mul(int a, int b) { return 1LL * a * b % mod; }
inline int add(int a, int b) { return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b; }
struct matrix 
{
    int a[10][10];
    int n, m;
    inline matrix(int nn,int mm) 
    {
        n = nn;
        m = mm;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    inline matrix operator*(matrix b) 
    {
        matrix c(n,b.m);
        for (int i = 0; i < c.n; ++i)
            for (int j = 0; j < c.m; ++j)
                for (int k = 0; k < m; ++k) 
                    c.a[i][j] = add(c.a[i][j], mul(a[i][k], b.a[k][j]));
        return c;
    }
};
int n, T, k;
matrix mpower(matrix a, int b) 
{
    matrix s(a.n,a.n);
    for (int i = 0; i < s.n; ++i) s.a[i][i] = 1;
    for (; b; b >>= 1) 
    {
        if (b & 1)
            s = s * a;
        a = a * a;
    }
    return s;
}
signed main() 
{
    T = read();
    while (T--) 
    {
        matrix  a(1,2), d(2,2), dd(2,2), f(1,2);
        a.a[0][1] = 1;
        d.a[0][1] = d.a[1][0] = d.a[1][1] = 1;
        n = read();
        k = read();
        a = a * mpower(d, n );
        int a1 = a.a[0][0], b1 = a.a[0][1], a2 = a.a[0][1], b2 = a.a[0][1]+a.a[0][0];
        dd.a[0][0] = a1;
        dd.a[0][1] = a2 - 1;
        dd.a[1][0] = b1 - 1;
        dd.a[1][1] = b2 - 1;
        f.a[0][1] = 1;
        f = f * mpower(dd, k);
        printf("%lld
", f.a[0][1]);
    }
    return 0;
}

瞎写的程序，不能信。

——来自菜鸡zqy的祝福。

寒假要结束了，容我缓缓。

这题，说实话，我是30号晚上爆肝搞得。

在此之前这题没搞过。唉