在线|二轮辅导[01][函数与基本初等函数]

Posted 2021-03-13 wanghai0666

思维导图

• 函数和基本初等函数

典例剖析

例1【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2))；②函数(y=f(x+2))是偶函数；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x})，若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，

则(a)，(b)，(c)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足(f(x+4)=f(x))，其周期是(4)；

由②可知(y=f(x))的对称轴是(x=2)，可以表达为(f(x+4)=f(-x))，

那么在结合(f(x+4)=f(x))，可知(f(-x)=f(x))，则函数(f(x))还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数(f(x))在区间((0，2])上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

(a=f(-5)xlongequal{周期性}f(-1)xlongequal{奇偶性}f(1))；

(b=f(cfrac{19}{2})xlongequal{周期性}f(cfrac{3}{2})=f(1.5))；

(c=f(cfrac{41}{4})xlongequal{周期性}f(2+cfrac{1}{4})xlongequal{已知表达式}f(cfrac{1}{4}-2)xlongequal{偶函数}f(2-cfrac{1}{4})=f(1.75))；

或(c=f(cfrac{41}{4})=f(2+cfrac{1}{4})=f(2+cfrac{1}{4}-4)=f(-cfrac{7}{4})=f(cfrac{7}{4})=f(1.75))

由(ecause f(x))在区间((0，2])上( earrow)，(1<1.5<1.75)， ( herefore f(1)<f(1.5)<f(1.75))，

即(a<b<c)，故选(D)。

例2【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下三个条件：

①对于任意的(xin R)，都有(f(x+1)=f(x-1))；

②函数(y=f(x+1))的图像关于(y)轴对称；

③对于任意的(x_1，x_2in [0，1])，都有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0)；

则(f(cfrac{3}{2}))、(f(2))、(f(3))的大小关系是【】

$A.f(cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$

$B.f(3)>f(2)>f(cfrac{3}{2})$

$C.f(cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$

$D.f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2)$

分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；

由①可知，函数的周期为(T=2)，故可以简化其中的两项，(f(2)=f(0))，(f(3)=f(1))；

由②，通过图像的平移，可知函数(y=f(x))的对称轴为直线(x=1)，即函数满足条件(f(x)=f(2-x))，再赋值得到，(f(cfrac{3}{2})=f(2-cfrac{3}{2})=f(cfrac{1}{2}))；

由③可知函数(f(x))在区间([0，1])上单调递增，由于(1>cfrac{1}{2}>0)，故(f(1)>f(cfrac{1}{2})>f(0))，即满足(f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2))，故选(D)。

例3【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数(f(x))是定义在((-infty，+infty))上的奇函数，满足(f(1-x)=f(1+x))，若(f(1)=2)，则(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=)【(hspace{2em})】。

$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$

分析：先将奇函数性质改写为，(f(x)=-f(-x)①)；

再将对称性(f(1-x)=f(1+x))改写为(f(2-x)=f(x)②)，

由①②式可知，(f(2-x)=-f(-x))，即(f(2+x)=-f(x))，故(T=2 imes 2=4)，

这样(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))，接下来就是重点求这些函数值；

由于函数是定义在(R)上的奇函数，故(f(0)=0)，则(f(4)=f(4-4)=f(0)=0)，

令(x=0)，则由(f(2-x)=-f(-x))可得到(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0)，即(f(2)=0)，

(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2)，故(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0)，

即所求(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50))

(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))

(=f(1)+f(2)=2)，故选(C)