数位dp入门

Posted 2021-03-13 wsy107316

引用博客

【引入】

首先我们要清楚数位dp解决的是什么问题：

求出在给定区间 [A,B] 内，符合条件 f(i) 的数 i 的个数。条件 f(i) 一般与数的大小无关，而与数的组成有关

由于数是按位dp，数的大小对复杂度的影响很小

【设计搜索】

这里我们使用记忆化搜索实现数位dp。本质上记搜其实就是dp，下文会重点介绍dp值的使用和记录

一、记搜过程

从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层一层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终答案。

对于 [l,r] 区间问题，我们一般把他转化为两次数位dp,即找 [0,r] 和 [0,l-1] 两段，再将结果相减就得到了我们需要的 [l,r]

二、状态设计

如果理解了上述过程，我们需要考虑的就是怎样判断现在在哪一层，怎样判断当前的状态——这就需要我们传进一些参量。

dfs函数需要哪些参量?

1. 首先是数位dp基本的量数字位数 pos ，记录答案的 st ，最高位限制 limit （这个后面会讲）

2. 我们还需要一个判断判断前导0的标记 lead （这个后面也会讲）

3. 由于数位dp解决的大多是数字组成问题，所以经常要比较当前位和前一位或前几位的关系（根据题意而定），所以一般在dfs()中也要记录前一位或前几位数 pre 方便比较。

4. 除此之外还可以传进更多参量以区分状态，视题意而定。

数位dp的状态能记录的最好都记录上 ——lwz dalao

【细节分析】

一、前导0标记lead

由于我们要搜的数可能很长，所以我们的直接最高位搜起

举个例子：假如我们要从 [0,1000] 找任意相邻两数相等的数

显然 111,222,888 等等是符合题意的数

但是我们发现右端点 1000 是四位数

因此我们搜索的起点是 0000 ，而三位数的记录都是 0111,0222,0888 等等

而这种情况下如果我们直接找相邻位相等则 0000 符合题意而 0111,0222,0888 都不符合题意了

所以我们要加一个前导0标记

1. 如果当前位 lead=1 而且当前位也是0，那么当前位也是前导0， pos+1 继续搜；

2. 如果当前位 lead=1 但当前位不是0，则本位作为当前数的最高位， pos+1 继续搜；（注意这次根据题意st或其他参数可能发生变化）

当然前导 0 有时候是不需要判断的，上述的例子是一个有关数字结构上的性质，0会影响数字的结构，所以必须判断前导0；而如果我们研究的是数字的组成（例如这个数字有多少个 1 之类的问题），0并不影响我们的判断，这样就不需要前导0标记了。总之，这个因题而异，并不是必须要标记（当然记了肯定是不会出错的）

二、最高位标记limit

我们知道在搜索的数位搜索范围可能发生变化；

举个例子：我们在搜索 [0,555] 的数时，显然最高位搜索范围是 0 ~ 5 ，而后面的位数的取值范围会根据上一位发生变化：

1. 当最高位是 1 ~ 4 时，第二位取值为 [0,9] ;

2. 当最高位是 5 时，第二位取值为 [0,5] （再往上取就超出右端点范围了）

为了分清这两种情况，我们引入了limit标记：

1. 若当前位 limit=1 而且已经取到了能取到的最高位时，下一位 limit=1 ；

2. 若当前位 limit=1 但是没有取到能取到的最高位时，下一位 limit=0 ；

3. 若当前位 limit=0 时，下一位 limit=0 。

我们设这一位的标记为 limit ，这一位能取到的最大值为 res ，则下一位的标记就是 i==res && limit （ i 枚举这一位填的数）

三、 {dp} 值的记录和使用

最后我们考虑dp数组下标记录的值

本文介绍数位dp是在记忆化搜索的框架下进行的，每当找到一种情况我们就可以这种情况记录下来，等到搜到后面遇到相同的情况时直接使用当前记录的值。

dp数组的下标表示的是一种状态，只要当前的状态和之前搜过的某个状态完全一样，我们就可以直接返回原来已经记录下来的dp值。

再举个例子

假如我们找 [0,123456] 中符合某些条件的数

假如当我们搜到 1000?? 时，dfs从下返上来的数值就是当前位是第 5 位，前一位是 0 时的方案种数，搜完这位会向上反，这是我们可以记录一下：当前位第 5 位，前一位是 0 时，有这么多种方案种数

当我们继续搜到 1010?? 时，我们发现当前状态又是搜到了第 5 位，并且上一位也是 0 ，这与我们之前记录的情况相同，这样我们就可以不继续向下搜，直接把上次的dp值返回就行了。

注意，我们返回的dp值必须和当前处于完全一样的状态，这就是为什么dp数组下标要记录 pos,pre 等参量了。

最重要的来了————————————————————

接着上面的例子，范围 [0,123456]

如果我们搜到了 1234?? ，我们能不能直接返回之前记录的：当前第 5 位，前一位是 4 时的dp值？

答案是否定的

我们发现，这个状态的dp值被记录时，当前位也就是第 5 位的取值是 [0,9] ，而这次当前位的取值是 [0,5] ，方案数一定比之前记录的dp值要小。

当前位的取值范围为什么会和原来不一样呢？

如果你联想到了之前所讲的知识，你会发现：现在的 limit=1 ，最高位有取值的限制。

因此我们可以得到一个结论：当 limit=1 时，不能记录和取用dp值！

类似上述的分析过程，我们也可以得出：当 lead=1 时，也不能记录和取用dp值！

p.s.当然没有这么绝对的说……因题而异的说……

以上就是计划搜索的完整步骤。

附图：

 

 模板：

 1 ll dfs(int pos,int pre,int st,……,int lead,int limit)//记搜
 2 {
 3     if(pos>len) return st;//剪枝
 4     if((dp[pos][pre][st]……[……]!=-1&&(!limit)&&(!lead))) return dp[pos][pre][st]……[……];//记录当前值
 5     ll ret=0;//暂时记录当前方案数
 6     int res=limit?a[len-pos+1]:9;//res当前位能取到的最大值
 7     for(int i=0;i<=res;i++)
 8     {
 9         //有前导0并且当前位也是前导0
10         if((!i)&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
11         //有前导0但当前位不是前导0，当前位就是最高位
12         else if(i&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit); 
13         else if(根据题意而定的判断) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
14     }
15     if(!limit&&!lead) dp[pos][pre][st]……[……]=ret;//当前状态方案数记录
16     return ret;
17 }
18 ll part(ll x)//把数按位拆分
19 {
20     len=0;
21     while(x) a[++len]=x%10,x/=10;
22     memset(dp,-1,sizeof dp);//初始化-1（因为有可能某些情况下的方案数是0）
23     return dfs(……,……,……,……);//进入记搜
24 }
25 int main()
26 {
27     scanf("%d",&T);
28     while(T--)
29     {
30         scanf("%lld%lld",&l,&r);
31         if(l) printf("%lld",part(r)-part(l-1));//[l,r](l!=0)
32         else printf("%lld",part(r)-part(l));//从0开始要特判
33     }
34     return 0;
35 }