题解P1020 导弹拦截

Posted 2021-03-12 zhengkunjia

【题解】P1020 导弹拦截

从n^2到nlogn

第二问就是贪心
第一问：

简化题意：求最长不下降子序列

普通n^2:

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j < i; j++)
        if(a[j] >= a[i])
            f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
cout << f[n];

另一种n^2级，可能快一点点(还没交，不知对不对）

f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    if(a[i] == 0)
        continue;
    f[a[i]] = f[a[i] - 1] + 1;
    for (int j = a[i]; j <= max_ai; j++)
        f[j] = max(f[j], f[a[i]]);
}
cout << f[max_ai] << endl;

接下来就是大佬讲的nlogn

题解(@w1049344862)
首先是upper_bound（） 和lower_bound()的用法
然后是神奇的栈操作

w1049344862曰：

O(nlogn)求出最长不上升子序列的长度
(即一套系统最多拦截数)

1.实现方式
首先我们需要一个数组a，存储从第1个到第n个导弹的高度

然后一个数组d(其实是个栈)，存储不上升序列

把a中的每个元素挨个加到d里面：

(a中第i个元素为a[i]，d长度为len，d中最后一个(也是最小的一个)为d[len])

如果a[i] <= d[len]，说明a[i]可以接在d后面(而整个d还是有序的)，那就简单粗暴地把a[i]丟进d：
d[ ++len ] = a[i]
如果a[i] > d[len]，说明a[i]接不上
但是我们发扬瞎搞精神：接的上要接，接不上创造条件也要接！

强行把a[i]塞进去：
在d中找到第一个小于a[i]的数，把它踹了，用a[i]代替它！(为什么正确在下面）

假设这个数是y，怎样踹掉它呢？

很明显，我们需要使用lower_bound和upper_bound来查找

第一步，找一个听起来无比正确的理由，比如它占着位置不干活啦，干起活来还不如a[i]啦，naive啦，它too young啦，too simple啦......反正能骗过lower_bound和upper_bound就行

(lower_bound&&upper_bound：你当我们傻)(w1049：真聪明)

接下来，特别有正义感的lower_bound和upper_bound就会去把y给拎出来

第二步，考虑使用什么

我们知道，要求的是最大不上升子序列长度，也就是如果两个元素相等也是可以的

所以我们踹人就不用踹等于a[i]的了

结合上面，应该使用upper_bound(终于想起来它了)并且使用>作为比较器(这是个下降序列)

第三步，直接开搞

int p = upper_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i], greater () ) - d;

d[p] = a[i];
成功把a[i]塞了进去

2.为什么正确
显然成立

如果y在末尾，由于y < a[i]，所以y后面能接的不如a[i]多，y让位给a[i]可以让序列更长

如果y不在末尾，那y有生之年都不会再被用到了，直接踹了y就行，y咋样，who care？

注意到lower_bound只能在有序序列中使用，此时d还有序吗？

当然有序。(本文第一个句号)

假设y前一个y1，y后一个是y2，则

y1 > y > y2

因为y是第一个小于a[i]的，所以

y1 > a[i]

又因为

a[i] > y > y2

所以

y1 > a[i] > y2

对比下原来的式子

y1 > y > y2

a[i]可以完美代替y，至于y以后咋办，who care？

对于最长上升子序列，只需要把上面的过程通通换一下符号

可以用以下方法证明：

反之亦然同理，推论自然成立，略去过程QED，由上可知证毕(多么美妙的证明)
3.代码：
for(int i=2;i<=n;i++)
if(d[len]>=a[i])d[++len]=a[i];
else {
int p=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater())-d;
d[p]=a[i];
}
最后len就是要求的最大不上升子序列长度

但要注意的是，d中存储的并不是最大不上升子序列！

原因如下：

即得易见平凡，仿照上例显然，留作习题答案略，读者自证不难

以上是洛谷题解）哈哈，诙谐的作业确让人思考

为啥len=答案？？

每加入一个，肯定是经比较满足最长不下降子序列后才扩栈的。
也就是在第i个元素时，len一旦+1，前提都是存在以a[i]结尾的且长为len的最长不下降子序列。
你想，更新栈内元素，使小的被较大的覆盖，并不改变原来元素所构成的序列的存在性。（这就是正确性）
而这次更新的操作，是为了贪心得到更优解（当然不是让栈内成为新的序列（栈内本来就不是个序列））。
下次有元素，加到大点的元素后面比加到小点的元素后面更优。为啥？？
他的作用体现出来就是更新到栈顶时，栈顶元素变大了，自然就更有可能多捞一个比它小的新元素。

AC代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define N 100010
#define F(i,a,b)    for(int i = a; i <= b; i++)
#define UF(i,a,b)   for(int i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
int a[N], n, len, d[N], max_ai, ans;
int high[50010];
int main()
{
    while(cin >> a[++n])
        max_ai = max(max_ai,a[n]);
    n--;
    d[++len] = a[1];
    F(i,2,n){
        if(a[i] <= d[len])
            d[++len] = a[i];
        else{
            int p1=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater<int>())-d;//upper_bound() 本来是找大于a[i]的，此找小于a[i]的，利用greater
            d[p1] = a[i]; 
        }
    }
//  F(i,1,len)  cout << d[i] << " ";
//  cout << endl;
    cout << len << endl;
    F(i,1,n){
        int t = 0;
        F(j,a[i],max_ai){
            if(high[j]){
                high[j] --;
                high[a[i]] ++;
                t = 1;
                break;
            }   
        }
        if(!t){
            high[a[i]] ++;
            ans ++;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

写博客方面：
1.如果是给别人看，语言要有逻辑顺序，应该对铺垫知识先行处理。即使写给自己，这也是个好习惯。
2.短句
3.轻松诙谐
最重要还是学了upper_bound()和upper_bound()(仅仅是知道）
更重要是了解了这巧妙的思想