POJ1679 The Unique MST 题解 次小生成树 题解 Kruskal+暴力LCA解法（因为倍增不会写）

Posted 2021-03-12 quanjun

题目链接：http://poj.org/problem?id=1679

题目大意：
给你一个简单连通图，判断他的最小生成树是否唯一。

解题思路：

首先（我这里用Kruskal算法）求出它的最小生成树（以下简称MST）以及对应的边，然后构造出这棵MST。

然后我们枚举图上每一条不在此MST上的边，假设这条边的两个端点是 (u) 和 (v)，边权为 (w) ，求MST上 (u) 到 (v) 的树链上的最大边的值是否等于 (w)，如果等于 (w) 就说明 MST 不唯一。

这一部分可以用树上倍增算法解决，但是我暂时还不会写，所以我就暴力做了囧。

所以我这样写的时间复杂度是：

Kruskal算法的 (O(m log m)) + 枚举每一条边+LCA的 (O(mn)) = (O(m log m + mn)) 。

实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 110, maxm = 10010;
int T, n, m, f[maxn], p[maxn], pe[maxn], ans, dep[maxn];
struct Edge {
    int u, v, w;
    bool choose;
    Edge () { choose = false; };
    Edge (int _u, int _v, int _w) { u = _u; v = _v; w = _w; choose = false; }
} edge[maxm];
vector<Edge> g[maxn];
void init() {
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        g[i].clear();
        f[i] = i;
    }
}
int func_find(int x) {
    if (x == f[x]) return x;
    return f[x] = func_find(f[x]);
}
void func_union(int x, int y) {
    int a = func_find(x), b = func_find(y);
    f[a] = f[b] = f[x] = f[y] = min(a, b);
}
inline bool cmp(Edge a, Edge b) {
    return a.w < b.w;
}
void kruskal() {
    int cnt = 0;
    sort(edge, edge+m, cmp);
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
        if (func_find(u) != func_find(v)) {
            edge[i].choose = true;
            func_union(u, v);
            ans += w;
            g[u].push_back(Edge(u, v, w));
            g[v].push_back(Edge(v, u, w));
            cnt ++;
            if (cnt >= n-1) break;
        }
    }
}
void dfs(int u, int d) {
    dep[u] = d;
    int sz = g[u].size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        int v = g[u][i].v, w = g[u][i].w;
        if (v == p[u]) continue;
        p[v] = u;
        pe[v] = w;
        dfs(v, d+1);
    }
}
int find_chain(int u, int v) {
    int maxw = 0;
    while (u != v) {
        if (dep[u] > dep[v]) {
            maxw = max(maxw, pe[u]);
            u = p[u];
        }
        else {
            maxw = max(maxw, pe[v]);
            v = p[v];
        }
    }
    return maxw;
}
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        init();
        for (int i = 0; i < m; i ++)
            scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
        kruskal();
        dep[1] = 1;
        dfs(1, 1);
        bool is_unique = true;
        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            if (!edge[i].choose) {
                int u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
                if (find_chain(u, v) == w) {
                    is_unique = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if (is_unique) printf("%d
", ans);
        else puts("Not Unique!");
    }
    return 0;
}