P3383 模板线性筛素数

Posted 2021-03-12 zhengkunjia

P3383 【模板】线性筛素数

埃氏筛->欧拉筛

普通埃氏筛（O（nlognlogn））

for (int i = 2; i <= n; i++)//注意终止条件
{
    if(!notpri[i])
        for（int j = 2; j * i <= n; j++）
            notpri[i*j]=true;   
}

优化

for (int i = 2; i <= n; i++)//到根号
{
    if(!notpri[i])
        for（int j = i; j * i <= n; j++）//j从i开始，因为[2、3..i - 1] * i之前再筛[2、3..i - 1]时已经筛过
            notpri[i*j]=true;   
}

但这样还有重复！
比如24，删2时、删3时、删4时，都删了一次！（12,8,6被优化省了）

欧拉筛（线性筛）

思想：让每个合数只被最小质因数筛去

过程（摘自[_mliy]（https://www.luogu.com.cn/blog/222223/solution-p3383））

避免重复筛，应找到筛合数的一种原则：这个合数只会被它的最小质因数筛。这样能保证每个合数只会被筛一次。
（运行过程）从 22 开始，22 加入 prime 数组，再从小到大枚举质数（现在只有 22），筛掉质数与 22 的乘积（44 被筛掉）。
到了 33，33 加入 prime 数组，从小到大枚举质数（此时有 22,33），筛掉质数与 33 的乘积（66,99 被筛掉）。 到了 44，44 没加入 prime 数组，枚举质数（有22,33），筛掉 88 后，因为 4mod2=04mod2=0，触发退出条件。（不触发，就会筛掉 1212，而 12=2 imes 2 imes 312=2×2×3，又会被 22 和 66筛一次）
以此类推，可做出一张表：

ii 的值 质数表 筛去的数
2 2 4
3 2，3 6，9
4 2，3 8
5 2，3，5 10，15，25
6 2，3，5 12
7 2，3，5，7 14，21，28，35
cdots? cdots? cdots?
每个质数只被筛一次，复杂度变为 O(n)O(n) ，可以AC。

理解（摘自彤云望月）

对于 i%prime[j] == 0 就break的解释 ：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子 ：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

for（int i = 2; i <= sqrt(n); i++）
{
    if(!notpri[i])    pri[++len] = i;
    for (int j = 1; j <= len; j++)
    {
        notpri[i * pri[j]] = true;
        if(i % pri[j] == 0)    break;
    }
}

题目ACcode

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100000010
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)

using namespace std;

int n, q, notpri[N], pri[10000000], k,len;

void pre()
{
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!notpri[i])  pri[++len] = i;
        for(int j = 1; j <= len; j++){
            if(i * pri[j] >= n) break;
            notpri[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0)     break;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n ,&q);
    pre();
    while(q--){
        scanf("%d",&k);
        printf("%d
",pri[k]);
    }
//  cout << len << "**";
    return 0;
}

反思

此题做了两天，总是RE，找了好久才知道是i*pri[j]没判断<=n!!!