线性筛1

Posted 2020-11-15 spbv587

筛法

(hugecolor{red}{线性筛素数})

保证每次只被自己最小的质因数筛到。。

void yych()
{
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot] = i;
        for(int j = 1; j <= tot&&i * prime[j] <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
         }
}

(hugecolor{red}{筛phi})

欧拉函数 (phi(i)) 为小于i 的正整数中与(i)互质的数的个数， 然后有公式

(phi(x) = x*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

? 然后考虑怎么筛， 还是分三种情况

1.(i)是质数 则显然 (color{green}{phi(i) =(i-1)})

2.(i) 能整除质数(p), 则说明(i) 中含有(p) 这个质数， 则后面的质数不会改变，只是在本身上乘上(p);

(phi(i) = i*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

(phi(i*p) = i*p*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

So， (color{green}{phi(i*p) = phi(i)*p})

3.(i) 不能整除质数(p), 说明(i)中不含(p)这个因数, 也就是原来多乘了(p*(1-dfrac{1}{p})) , 化简得((p-1));

(phi(i) = i*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

(phi(i*p) = i*p*(1-dfrac{1}{p})*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

? (= i*(p-1)*(1-dfrac{1}{p_1})*(1-dfrac{1}{p_2})*...*(1-dfrac{1}{p_k}))

So, (color{green}{phi(i*p) = phi(i)*(p-1)});

void yych()
{
    phi[1] = 1;
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            phi[i] = (i-1);
        }
        for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0)
            {
                  phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

(hugecolor{red}{筛mu})

可以放心，和反演无关

根据莫比乌斯函数定义来筛：

根据唯一分解定理

(i = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}...p_q^{k_q})

对于一个数(i), [mu(i)=egin{cases} 1, &(i=1)\0, & (exists k, k>1)\(-1)^q ,&(forall k, k<=1) end{cases} ]

? 1.则对于一个质数(i)， 显然

? (color{green}{mu(i)=-1}),

? 2.若(i)能整除(p), 则(i)中(p) 的原来指数至少为1， (i*p) 中(p)指数就一定大于1

? (color{green}{mu(i*p)=0})

? 3.若(i)不能整除(p), 则(i)中原来没有(p) 这个质数， (i*p) 相当于多了一个质数， 则(q+=1), 奇变偶， 偶变奇。。。。

? (color{green}{mu(i*p)=-mu(i)})

void yych()
{
    mu[1] = 1;
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
               mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}