The Integers and the Real Numbers

Posted lijianming180

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了The Integers and the Real Numbers相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

以上我們談了一些 邏輯的基礎,接下來我們會談一些 數學的基礎,也就是整數與實數系統。其實我們已經用了很多,非正式地,接下來我們會正式地討論他們。

建構 實數系統的一個方法就是利用公理跟集合論來建構。

首先我們需要從集合論出發,定義在 set $A$ 上的 二元運算子(binary operator)

Def.

$$
f: A times A rightarrow A
$$

我們在描述一個二元運算子的時候並不會如同以往的函數一樣, $f(a, a’)$,而是會把運算子寫在中間, $afa’$。一般來說,我們會用符號來表示,而不是字母,像是加號 $+$、乘號 $cdot$。

假設

我們假設存在一個 set $mathbb{R}$,代表實數,有兩個運算子分別是加法運算子 $+$、乘法運算子 $cdot$,以及一個次序關係 $lt$ 定義於 $mathbb{R}$ 上,會有以下特性:

代數特性(Algebraic Properties)

  1. $(x + y) + z = x + (y + z), forall x, y, z in mathbb{R}$

$(x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z), forall x, y, z in mathbb{R}$

  1. $x + y = y + x, forall x, y, z in mathbb{R}$

$x cdot y = y cdot x, forall x, y, z in mathbb{R}$

  1. $exists! 0 in mathbb{R}, forall x in mathbb{R}, s.t. enspace x + 0 = x$

$exists! 1 in mathbb{R}, forall x in mathbb{R}, s.t. enspace x cdot 1 = x$

  1. $for enspace each enspace x, exists! y, s.t. enspace x + y = 0$

$for enspace each enspace x, exists! y, s.t. enspace x cdot y = 1$

  1. $x cdot (y + z) = (x cdot y) + (x cdot z), forall x, y, z in mathbb{R}$

混合代數與次序特性(A Mixed Algebraic and Order Property)

  1. $If enspace x gt y, then enspace x + z gt y + z$

$If enspace x gt y, z gt 0, then enspace x cdot z gt y cdot z$

次序特性(Order Properties)

  1. 次序關係 $lt$ 有最小上界性
  2. $If enspace x lt y, then enspace exists z enspace s.t. enspace x lt z, z lt y$

由 1~5 點我們可以導出一些代數性質,像是負數、減法運算、倒數跟商的概念。我們可以定義正數($x gt 0$)跟負數($x lt 0$)。在代數領域,擁有 1~5 點特性的代數結構,我們會稱為域(field)。如果有包含第六點就稱為有序域(ordered field)。在拓樸領域我們通常會討論的是第7、8點,他只牽涉到次序關係,同時擁有這兩點的集合稱為線性連續統(li 大专栏  The Integers and the Real Numbersnear continuum)。

說到這邊我們還沒提到整數呢!我們就用前6點來定義整數(integer)。

Def.

$A subseteq mathbb{R} enspace is enspace inductive:$

  1. $1 in A$
  2. $forall x in A enspace s.t. enspace x + 1 in A$

Def.

$mathcal{A} enspace is enspace a enspace collection enspace of enspace all enspace inductive enspace subsets enspace of enspace mathbb{R}$
$positive enspace integers enspace is enspace a enspace set enspace mathbb{N} = bigcap_{A in mathcal{A}} A$

這樣的定義是很巧妙的,他其實只有明確的定義了1是在這個集合裡,後面都以 $x+ 1$ 的形式去推演,這稱為可歸納。而正整數是眾多可歸納集合的交集,可見正整數是最小的子集。

正整數有些特性:

  1. 正整數是可歸納的(inductive)
  2. (Principle of inductive)如果 set $A$ 是可歸納的,而且含正整數的集合,那麼 $A = mathbb{N}$

與實數不同的是,他不會有第八點特性,也就是,$for enspace each enspace n in mathbb{N}, nexists a in mathbb{N} enspace s.t. enspace n lt a lt n + 1$。


如果有個正整數 $n$,我們用 $S_{n}$ 來代表所有小於 $n$ 的正整數的集合,我們稱他為 section

$$
S_{n + 1} = {1, dots , n}
$$

接下來我們會描述 證明 兩個可能不是很熟悉但很有用的特性,你可以看成是另一個版本的數學歸納法:

Theorem: Well-ordering property

$$
S subseteq mathbb{N}, S neq emptyset, S enspace has enspace smallest enspace element.
$$

他描述了 $mathbb{N}$ 的非空子集,一定有最小元素。

Theorem: Strong induction principle

$$
A enspace is enspace a enspace set enspace of enspace positive enspace integers,
$$

$$
for enspace each enspace n, S_n subseteq A enspace s.t. enspace n in A, then enspace A = mathbb{N}
$$

這邊描述了,對每個 $n$ 來說,由 $S_n subseteq A$ 可以推出 $n in A$ 的話,那麼 $A$ 就是 $mathbb{N}$。

以上我們用了有序域中的第 1~6 點公理,那第 7 點呢?

你用會用到第 7 點(最小上界公理)來證明,正整數集合 $mathbb{N}$ 在實數的集合 $mathbb{R}$ 中是沒有上界的。

Theorom: Archimedean ordering property

$$
the enspace set enspace mathbb{N} enspace has enspace no enspace upper enspace bound enspace in enspace mathbb{R}.
$$

以上是关于The Integers and the Real Numbers的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

1317. Convert Integer to the Sum of Two No-Zero Integers

GIVEAWAY | Blockchain In The Real World by Startup Grind Beijing

[CodeForces] 1325D Ehab the Xorcist

Leetcode 371. Sum of Two Integers JAVA语言

LeetCode --- 1317. Convert Integer to the Sum of Two No-Zero Integers 解题报告

LeetCode --- 1317. Convert Integer to the Sum of Two No-Zero Integers 解题报告