CF1280E Kirchhoff's Current Loss

Posted 2021-03-12 grice

题意

做法

考虑一个子电路图(G)，设得到有效电阻为(x)，费用为(f_G(x))，通过归纳易得(f_G(x))是关于(x)的一个一次函数，即(f_G(x)=k_Gx)

考虑电路图(G)的若干个子电路图(G_1,G_2,...,G_n)

• 串联：设子电路图的系数分别为(k_{G_1}le k_{G_2}le ...le k_{G_n})，之间把(x)传到(G_1)就行了
  故(k_G=k_{G_1})
• 并联：有(frac{1}{x}=sumlimits_{i=1}^n frac{1}{x_i})
  我们用柯西不等式来求(k_G)：
  (f_G(x)=x(sumlimits_{i=1}^n frac{1}{x_i} )(sumlimits_{i=1}^n k_{G_i}x_i)ge x(sumlimits_{i=1}^n sqrt frac{1}{x_i}sqrt {k_{G_i}x_i})^2=x(sumlimits_{i=1}^n sqrt {k_{G_i}})^2)
  故(k_{G_i}=(sumlimits_{i=1}^n sqrt {k_{G_i}})^2)
  根据柯西不等式，取等号的充要条件是：存在(lambdainmathbb{R},sqrt {k_{G_i}x_i}=frac{lambda}{sqrt{x_i}})
  为了递推到(x_i)，我们需要不用到(x_i)得到(lambda)：
  (frac{1}{x_i}=frac{sqrt{k_{G_i}}}{lambda},sumlimits_{i=1}^n frac{1}{x_i}=frac{sumlimits_{i=1}^n sqrt{k_{G_i}}}{lambda},xsumlimits_{i=1}^n frac{1}{x_i}=xfrac{sumlimits_{i=1}^n sqrt{k_{G_i}}}{lambda},1=xfrac{sumlimits_{i=1}^n sqrt{k_{G_i}}}{lambda})
  故(lambda=xsumlimits_{i=1}^n sqrt{k_{G_i}})

当然目前为止我们都是用实数递推的，但递推底层（单电阻）为(k=1)，根据归纳容易推得上述根号下的开完根号都为整数
所以不需要考虑实数