[Codeforces 464D]World of Darkraft(期望DP)

Posted 2021-03-12 birchtree

[Codeforces 464D]World of Darkraft(期望DP)

题面

游戏中有k种装备，每种装备初始时都是等级1。zyd每打一只怪，就会随机爆出一件装备。掉落和更新装备方式如下：

假设这种装备当前等级为t，那么系统会在[1,t+1]中等概率随机出该装备的等级。爆出装备后，会装备上身上的和爆出的装备之间等级更高的那件，并卖掉等级更低的装备。其中等级为i的装备价格为i金币。

求打了n只怪后获得金币的期望值，精确到(10^{-9})。

(n,kleq 10^5)

分析

首先,所有装备没有区别。根据期望的线性性可以计算出买某种装备的期望收益，再乘上(k)

设(dp[i][j])表示某种装备现在(j)级,再打(i)只怪后的期望收益

考虑从(i-1)推到(i)(注意:这实际上是倒推),分情况讨论:

1. 爆出的不是这种装备,概率(frac{k-1}{k}),期望(frac{k-1}{k}dp[i-1][j])

2. 爆出的是这种装备,概率(frac{1}{k})
   2.1 爆出的装备等级为(j+1),概率为(frac{1}{j+1}),此时把当前装备卖掉获得(j)金币。那么倒推期望,从(dp[i-1][j+1])转移过来，期望(frac{j+dp[i-1][j+1]}{j+1})

   2.2爆出的装备等级为([1,j])中的一个,概率(frac{j}{j+1}).卖掉这个装备,由于概率均匀分布，获得金币的期望值为(frac{j+1}{2})。此后手上装备等级还是(j),从(dp[i-1][j])转移,期望(frac{j}{j+1}(dp[i-1][j]+frac{j+1}{2}))

那么我们可以写出最终的dp方程

(dp[i][j]=frac{k-1}{k}dp[i-1][j]+frac{1}{k}(frac{j+dp[i-1][j+1]}{j+1}+frac{j}{j+1}(dp[i-1][j]+frac{j+1}{2})))

这样的转移是(O(n^2))的.想到期望dp的一般套路,j过大的时候期望值小到可以忽略不计。经过测试j枚举到700即可。严谨的证明请参考cf官方题解

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define maxb 700
using namespace std;
typedef double db;
int n;
db k;
db dp[2][maxb+5];
int main(){
    scanf("%d %lf",&n,&k);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=maxb;j++){
            dp[now][j]=dp[now^1][j]*(k-1.0)/db(k)
                       +((dp[now^1][j+1]+j)/(j+1.0)
                       +(dp[now^1][j]+(j+1)/2.0)*j/(j+1.0))/db(k);
        }
        now^=1;
    }
    printf("%.10lf
",k*dp[now^1][1]);
}