Luogu P3806 模板点分治1

Posted 2021-03-11 mogeko

gate

我回来了...

本来是应该12月发的blog，没想到拖到了现在，注意事项什么的稍微有点忘了，以后再慢慢补充吧

点分治是一种树上算法。顾名思义，就是对每个点进行分治，计算它的子树对答案的贡献。

主要用于处理树上路径，且一个点会被统计多次的问题。

 

以这道题为例：

询问树上距离为k的点对是否存在。

 

设当前的根节点为ｘ。

若距离为ｋ的点对存在，有两种情况：经过ｘ和不经过ｘ。

经过时，若ｘ的两个相异的子树中的两个点到ｘ的距离之和＝ｋ，

即ｘ有子树Ａ,B,...，若有(x,Ai)+(x,Bj)=k，则ｘ对答案做出了贡献。

不经过时，则对ｘ的每一个子树递归分治处理。

 

但是，在统计答案的过程中，难免会计算ｘ的同一子树中的情况，即(x,Ai)+(x,Aj)=k

Ai到Aj的距离应该在子树A中计算，否则它们间的距离会被加上重复的路径

比如上图中统计1的答案会计算(1,4)+(1,5)，其中路径(1,2)被加了两次。

实际上(4)到(5)的距离不是4而是2。

因此，计算完当前节点的答案后，还要减去它的子树的重复答案。具体步骤在后面详细说明。

 

可以发现，时间复杂度由ｘ的子树大小决定。

使ｘ的最大子树最小——ｘ是树的重心。

所以，递归处理每一棵子树时，都要找到它的重心作为根节点。

 

综上所述，点分治的步骤可以概括为：

（root：当前重心）

找root，处理root［

　　计算root的贡献，遍历root的子树（　对于每棵子树：

　　　　减去该子树中的重复计算，

　　　　找该子树root，处理root［...］

　　）

］

在这里一共用到了四个函数：

get_rt() ——　找root

divide()　——　分治处理

calc()　——　计算贡献

dfs()　——　递归求深度，用来计算路径长（根据每道题题意不同）。

 

vis[x]表示x是否被分治处理过。

因为分治的过程中可能会把树旋转成不同的形状，

或者说，因为根变化了，已经统计完的点可能会在新的根节点下面。

这个变量只在divide()中更新，但是所有函数都要用到。

 

$get$_$rt()$

类似于树形dp，是一个递归找最大子树的过程。

siz[x]表示以x为根的子树大小（包括自己），

f[x]表示x的最大子树大小。

sum表示要求root的这部分子树的总点数，初始时为n。

某一点x的最大子树，其实不一定在x的下面，也可能是x作为根时x的父亲的那一部分子树。

所以除了每次f[u] = max(f[u],siz[v])，【注意这里不要误写成f[v]】

还要在最后更新f[u] = max(f[u],sum-siz[u])。

void get_rt(int u,int fa) {
    siz[u] = 1;
    f[u] = 0;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(v == fa || vis[v]) continue;
        get_rt(v,u);
        siz[u] += siz[v];
        f[u] = max(f[u],siz[v]);
    }
    f[u] = max(f[u],sum-siz[u]);
    if(f[u] <= f[rt]) rt = u;
}

 

$divide()$

首先将这个点标记vis，表示已经分治过了。

计算它的贡献。

传入$calc$的三个参数(u,nowdis,op)分别表示当前点、到这个点为止已经走过的距离、是加入还是减去这个点的贡献（加入为1，减去为-1）。

遍历这个点的儿子时，首先判断是否vis过；

减去这个子树内部的重复计算：nowdis为边(u,v)的权值，op为-1.

然后处理这棵子树。

子树的总点数sum即为siz[v]（在上次get_rt中已经算好了），rt=0，f[0]=MAX（这里可以是siz[v]）

在这棵子树中找到重心，并分治。

因为这次的操作是局限在这个子树中的，所以并不会影响到它的兄弟，并列操作即可。

void divide(int u) {
    vis[u] = true;
    calc(u,0,1);
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(vis[v]) continue;
        calc(v,w[i],-1);
        rt = 0,f[0] = sum = siz[v];
        get_rt(v,u);
        divide(rt);
    }
}

 

$calc()$

前面已经提到了calc中的三个参数：(u,nowdis,op)

tot表示所要计算的子树中的总点数，在dfs时计算。

dfs中传入的参数分别为(u,fa,nowdis)，含义相同

dfs完毕后，n^2枚举点对，计算它们的贡献。

ans[x]表示距离为x的点对个数；

dis[i]表示从该子树根节点到i的距离。

根据op的值不同，答案+1或-1。

void calc(int u,int nowdis,int op) {
    tot = 0;
    dfs(u,0,nowdis);
    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        for(int j = i+1; j <= tot; j++)
            ans[dis[i]+dis[j]] += op;
}

 

$dfs()$

根据题意，在dfs中求出该子树根节点到子树中个点的距离。

利用tot，给子树中的点重新编号1~tot，同时求出总点数。

到达某个点时，编号为++tot，且该点的dis即为nowdis.

然后再遍历这个点的儿子节点并dfs；

同样为了防止重复，要先判断是否vis过。

新的nowdis即为原来的nowdis+w(u,v).

void dfs(int u,int fa,int nowdis) {
    dis[++tot] = nowdis;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(v == fa || vis[v]) continue;
        dfs(v,u,nowdis+w[i]);
    }
}

 

最后对于每个询问k，检查ans[k]是否大于0即可。

 

总结一下：

初始化：f[0] = sum = n,get_rt(1,0),divide(root);

$get$_$rt$(int u,int fa)　　递归　　需判断(v == fa || vis[v])

$divide$（int u)　　递归　　更新vis[u],需判断(vis[v])

$calc$(int u,int nowdis,int op) 　　无递归，无判断

$dfs$(int u,int fa,int nowdis)　　递归　　需判断(v == fa || vis[v])

 

完整代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;

const int maxn = 20005;
int n,m,x,y,z,ans[10000005];
int rt,sum,tot,siz[maxn],f[maxn],dis[maxn];
int cnt;
int head[maxn],to[maxn],nxt[maxn],w[maxn];
bool vis[maxn];

int read() {
    int x = 0,f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) {
        if(ch == ‘-‘) f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(‘0‘ <= ch && ch <= ‘9‘) {
        x = (x<<3) + (x<<1) + ch-‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return x*f;
}

void add(int x,int y,int z) {
    to[++cnt] = y;
    nxt[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt;
    w[cnt] = z;
}

void dfs(int u,int fa,int nowdis) {
    dis[++tot] = nowdis;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(v == fa || vis[v]) continue;
        dfs(v,u,nowdis+w[i]);
    }
}

void calc(int u,int nowdis,int op) {
    tot = 0;
    dfs(u,0,nowdis);
    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        for(int j = i+1; j <= tot; j++)
            ans[dis[i]+dis[j]] += op;
}

void get_rt(int u,int fa) {
    siz[u] = 1;
    f[u] = 0;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(v == fa || vis[v]) continue;
        get_rt(v,u);
        siz[u] += siz[v];
        f[u] = max(f[u],siz[v]);
    }
    f[u] = max(f[u],sum-siz[u]);
    if(f[u] <= f[rt]) rt = u;
}

void divide(int u) {
    vis[u] = true;
    calc(u,0,1);
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(vis[v]) continue;
        calc(v,w[i],-1);
        rt = 0,f[0] = sum = siz[v];
        get_rt(v,u);
        divide(rt);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n-1; i++) {
        x = read(),y = read(),z = read();
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    f[0] = sum = n;
    get_rt(1,0);
    divide(rt);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        x = read();
        if(ans[x]) printf("AYE
");
        else printf("NAY
");
    }
    return 0;
}

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