透视校正插值

Posted 2021-03-11 back-to-the-past

在投影变换视口变换后，需要对投影到屏幕上的平面三角形顶点属性进行线性插值，例如颜色，纹理，深度等。但对于投影前在3D空间的三角形来说，这个插值并不是线性的。下面来推导一下这个插值。

假设屏幕空间的三角形的三个顶点分别为(v_0,v_1,v_2)，(v_p)是位于三角形一边上的点(v_0 + t(v_1 - v_0))。

那么有：
[ x_p = x_0 + t(x_1 - x_0) ]
其中，$ 0 leq t leq 1$。对于投影前的三角形，根据投影变换则有：
[ dfrac{x'}{x} = dfrac{z'}{d} ]
其中，(x',z')为投影前三角形的坐标，(d)为到投影平面的距离。代入可得：
[ dfrac{x'_p}{z'_p} = dfrac{x'_0}{z'_0} + t(dfrac{x'_1}{z'_1} - dfrac{x'_0}{z'_0}) ]
另外，我们已知(v'_0,v'_1,v'_p)三点共线，假设直线方程为(ax'+bz'=c)，代入化简可得到：
[ dfrac{1}{z'_p} = dfrac{1}{z'_0} + t(dfrac{1}{z'_1} - dfrac{1}{z'_0}) ]
可见，对于投影前在3D空间的三角形来说，(z)的倒数成线性插值。这样，我们就可以根据屏幕空间三角形的顶点深度，插值计算出三角形内任意点的深度值。

同样地，对于其他属性(m')例如颜色纹理等，它们都关于深度(z')成线性关系，即都有(am'+bz'=c)。等式两边都除以(cz')得到：
[ dfrac{am'}{cz'} + dfrac{b}{c} = dfrac{1}{z'} ]
根据之前求得的结果，有：
[ dfrac{am'_p}{cz'_p} + dfrac{b}{c} = dfrac{am'_0}{cz'_0} + dfrac{b}{c} + t(dfrac{am'_1}{cz'_1} - dfrac{am'_0}{cz'_0}) ]
化简得到：
[ dfrac{m'_p}{z'_p} = dfrac{m'_0}{z'_0} + t(dfrac{m'_1}{z'_1} - dfrac{m'_0}{z'_0}) ]
可见，对于投影前在3D空间的三角形来说，其他属性乘以(z)的倒数成线性插值。这样，我们就可以根据屏幕空间三角形的顶点属性，插值计算出三角形内任意点的属性值。