蒟蒻林荫小复习——关于有限制区间元素查询的一些解法

Posted 2021-03-11 xlinyin

如题：本文主要说明对于区间有限制查询的一些解法（其实就两种）

问题1：给定一个数列，要求查询区间L—R中所有大于等于Va小于等于Vb的元素和

解法：

1.线段树套权值线段树

1. 第一维维护区间，第二维作为权值线段树，维护值域在A—B之间的元素之和
2. 每次查询就从第一维拉到对应区间，然后用Va和Vb确定在权值线段树中的查询范围即可

2.分块

1. 分块数组记为a，对每一个a块都开一个数组b，b数组将a块中元素拷贝后排序，新建c，对于每一个b都求前缀和
2. 这样对于整块而言，用二分确定Va和Vb在b数组中的位置Ia，Ib，那么在这个数组的贡献即为c[lb]-c[la-1].
3. 零散部分暴力，不会超过2*sqrt(n)

问题2：在1的基础上求元素的个数

解法：

1.线段树套权值线段树

1. 几乎同上，在第二维权值线段树中维护元素的个数即可（可能要离散化）

2.分块

1. 分块数组记为a，对每一个a块都开一个权值数组b，b记录a中每种元素出现个数
2. b的范围为MinV—MaxV(离散化)，对于每个b新开一个c记录b数组的前缀和
3. 假设离散化后的Va,Vb为map[Va],map[Vb],则整块的贡献为c[map[Vb]]-c[map[Va]-1]

 

问题3：在1和2的基础上添加修改条件：可以是删去某一个元素（正常出题人应该不会这样搞），将某一个元素的值修改

解法：

1.线段树套权值线段树

1. 大概方法同上，内层同时维护出现次数和权值和即可
2. 但是对于删去元素的情况，我们要记录下删去的位置，如果以后有在这个位置以后进行的操作，L和R都应当增加1（相当于问题区间整体向后移动一位腾出被删去的元素的空间）
3. 上述的位移问题可以用一个数组来记录，每次删去后花费n的时间使删去位置后的元素++，实际操作时L和R都加上该数组中对应的元素

2.线段树套Splay(可配套阅读蒟蒻林荫小复习——Splay)

1. 外层线段树维护区间，内层Splay同时维护元素个数和自己子树内的权值和，但是节点权值仍是该元素的权值（不是子树和）
2. 查询时先求出Va，Vb代表的节点（如果Va和Vb不存在，就找Va的前驱和Vb的后继）将Va的前驱旋转到根，将Vb的后继旋转到Va前驱的右儿子上，这个时候我们要求的区间就是Vb后继的整个左子树
3. 那么就可以求出上述两答案，区间合并即可
4. 对于元素值的修改，Splay的做法是删去代表原值的点，再加入一个代表新值的点，删去元素的话依然是在最外面维护删除数组修改L和R，内层把对应元素删掉即可

3.分块套权值线段树

1. 对于修改，再使用数组的方式就显得缓慢了
2. 还是先维护分块数组a，内层使用权值线段树，方法同上
3. 记录删除的数组开在区间的最外面，在询问区间L到R时直接修改L，R即可，避免把问题引入到线段树上

问题4：在1和2的基础上进行普通的区间修改（删除太毒瘤，出题人出了就等着被打死吧）

这样的话上面三种做法都要一个一个删，因为上面的做法是基于权值进行操作的，而这样的修改是基于ID的

所以说，结论是维护不了，因为每一次我们都要重做对应区间或者块的内层树。

补档：实际上是可行的

权值平衡树维护线段树，外围平衡树的每一个点代表一种点权，内层平衡树存这个点在区间L——R中出现了几次

那么对于区间修改，只需要把对应的区间在内层平衡树上拍成0（如果修改的值不和外围权值相同）或者拍成区间长度（修改的值和外围权值相同）就可以了

查询的话对于每个平衡树上的点询问其线段树在L—R上的权值即可

对于每一个点权

问题5：在1和2的基础上要求在区间L—R中对值域在Va—Vb间的每个元素进行修改

先留着吧坑