分治FFT

Posted 2021-03-11 66t6

概述

分治FFT不是一个算法而是一种思想，一般指两种套路(CDQ)分治解决函数问题，分治+(FFT/NTT)合并背包

分治背包

问题

问题形如给出(n)种物品，第(i)种物品有(a_i)个，大小为(w_i)

答案的生成函数即为(displaystyle{prod_{i=1}^n(1+a_i x^{w_i})})

解决方案也很简单，分治(Solve(l,mid),Solve(mid+1,r))乘起来即可

复杂度(O(nlog^2 n))

例题

CDQ分治+FFT

特殊化问题

(mathtt{BSOJ5294}):(displaystyle{f(i)=egin{cases}1&i=0sum_{j=1}^if(i-j)g(j)&i e 0end{cases}}),其中(g)为给定数列,求(f(n))

下面是(n=7)的一个举例

首先这个卷积自己调用自己无法直接卷

考虑(CDQ)分治打包贡献

即对于([l,r]),首先计算([l,mid])并且算出从左到右的贡献

对于这道题，每到叶子结点，他的贡献就算完了

具体实现上有左闭右闭，左开右闭两种

这里用左开右闭,卡常版本

inline void CDQ(re int l,re int r,re int lg){
    if(l>=n||!lg)return ;re int i,mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid,lg-1);Getrev(1<<lg);
    memset(a+(r-l)/2,0,((r-l)/2)<<2);
    memcpy(a,f+l,((r-l)/2)<<2),memcpy(b,g,(r-l)<<2);
    NTT(a,1<<lg,1),NTT(b,1<<lg,1);for(i=0;i<r-l;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;NTT(a,1<<lg,-1);
    for(i=(r-l)/2;i<r-l;i++)f[l+i]=Mod(f[l+i]+a[i]);
    CDQ(mid,r,lg-1);
}

一般化问题

考虑([l,mid])对([mid+1,r])的贡献无法及时算出情况

(mathtt{BSOJ5295}):(displaystyle{g(i)=egin{cases}?&i=1sum_{j=1}^{i-1}f(i-j)f(j)&i e 1end{cases}}),其中(f(1))给定,求(g(2)cdots g(n))

自己卷自己有什么区别呢

那就是([l,mid])的(f)会卷上([mid+1,r])再贡献到([mid+1,r])上

考虑尽量算贡献,设(F_0(x))为([0,l))这些内部贡献算完的部分,(F_1(x)则为)[l,r]$没算的部分

则(g=(F_0+F_1)^2=F_0^2+2F_0F_1+F_1^2)

考虑(F_0^2)前面已经被算过

我们要的项数是([mid+1,r]),考虑平移(F_1),设平移(l)位后为(F_1')

问题变为求(g'=2F_1'F_0)的([mid+1-l,r-l])位

和(g''=F_1'^2)的([mid+1-2l,r-2l])位(没有的舍掉即可)

inline void CDQ(re int l,re int r){
    if(l==r){if(l>1)f[l]=__builtin_popcount(g[l]);return ;}
    re int i,mid=(l+r)>>1,len;
    CDQ(l,mid);
    memcpy(a,f+l,(mid-l+1)<<2);memcpy(b,f,(std::min(r-l+1,l))<<2);
    len=Make(std::min(r-l+1,l),mid-l+1);
    NTT(a,len,1);NTT(b,len,1);
    memcpy(tmp,a,len<<2);for(i=0;i<len;++i)a[i]=1ll
    *a[i]*a[i]%mod;NTT(a,len,-1);
    for(i=0;i<len;++i)if(l*2+i<=r&&l*2+i>mid)g[l*2+i]=Mod(g[l*2+i]+a[i]);//F1^2(x)
    memcpy(a,tmp,len<<2);
    for(i=0;i<len;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;NTT(a,len,-1);
    for(i=mid+1-l;i<=r-l;++i)g[l+i]=(g[l+i]+2ll*a[i])%mod;//F0(x)*F1(x)
    memset(a,0,len<<2),memset(b,0,len<<2);
    CDQ(mid+1,r);
}

例题

这里的例题都很毒

#### 真分治FFT

(mathtt{BSOJ5629})

(mathtt{BSOJ5519})

(mathtt{BSOJ3877})

#### CDQ+FFT 特殊函数问题

(mathtt{BSOJ5651})

#### CDQ+FFT 一般函数问题

(mathtt{BSOJ6235})