二分查找深度分析

Posted 2021-03-11 baizihua

总结一句话就是：思路很简单，细节是魔鬼，hhhh。

本博客探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。

寻找一个数（基本的二分搜索）

public int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; 

    while(left <= right) {  // 注意点
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; 
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; 
        }
    return -1;
}

• 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？

答：
举个例子推一下即可得知。因为当left=4，right=6时，此时mid=5；如果进入(nums[5] < target)分支时，left=6，如果是<，下次循环left=right=6不满足left<right,此时会跳出循环返回-1，然而索引是6的元素还没有判断是否等于target，故while 循环的条件中是 <=。

left <= right相当于两端都闭区间 [left, right]中搜索，left < right相当于左闭右开区间 [left, right)中搜索。

• 此算法有什么缺陷？

答：
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

寻找左侧边界的二分搜索

public int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意点1
    
    while (left < right) {    //注意点2
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] >= target) {  // 注意点3
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } 
    }
    // target 比所有数都大
    if (left == nums.length) return -1;
    // 类似之前算法的处理方式
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

• 为什么该算法能够搜索左侧边界？（注意点3）

答：
关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

if (nums[mid] >= target) {  // 注意点
    right = mid;
}

即找到 target 时不是立即返回，而是缩小搜索区间的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
为什么不是right = mid -1？因为这有可能会错过想要找的目标，比如：数组中存在唯一的值等于target，当mid刚好等于该值索引，进入(nums[mid] >= target)，则right = mid -1；结果是错过唯一的目标，找不到target。

• 为什么这里的while循环条件是left < right而不是<=（注意点2）
  举个例子：

int[] nums = {1,2,4,6,6,6,6,6,6,6,6,9};
target = 6;

如果是left <= right，则会出现这种情况：
left=3，right=3，此时mid=3，当target在mid处命中即target=nums[mid],此时进入（nums[mid] >= target）分支，right = 3;所以这种情况它跳不出循环。

• 为什么int right = nums.length？数组不会越界？（注意点1）
  答：
  left=9，right=10，（9+10）/2=9；
  left=10，right=11，（10+11）/2=10；
  所以mid永远不会超过nums.length-1

• 那为什么和第一种情况中right = nums.length-1不一样呢？
  因为left <= right代表[left,right]，而left < right代表[left，right）

• 为什么最终返回left而不是right？
  答：
  都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    if (left == 0) return -1;
    return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
}

与寻找左侧边界的二分查找原理类似，故不在赘述。

进阶：基本的二分搜索的左右分支转向代价不平衡的问题：
如[1,2,3],left=0,right=2,mid=1,进入左分支需要比较2次，进入右分支需要比较3次。
解决办法：
1，斐波那契数（Fibonacci）
2，变为2次比较
如有时间，下次阐述原理。