单位根反演和循环卷积

Posted 2021-03-11 66t6

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了单位根反演和循环卷积相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

这是(FFT)涉及到的一(两)个小知识

单位根反演

单位根

如果一个数(x),对(forall 1le i<n)有(x^i e 1)且(x^n=1)则(x)称为(n)次单位根

此定义在复数，膜意义下都是良定义

求和引理

([k|n]=frac{1}{k}sumlimits_{i=0}^{k-1}w_k^{in})

在前面已经有过证明

例题

(mathtt{BSOJ1683}):求给出素数(p)和(k)满足(k|p-1)求(displaystyle{sum_{i=0}^n [k|i]inom{n}{i}F_imod p})

[sum_{i=0}^n [k|i]inom{n}{i}F_imod p =sum_{i=0}^n frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}omega_k^{ij}inom{n}{i}F_imod p]
因为我们知道(A=egin{bmatrix}1&11&0end{bmatrix},A^n)可以代表(F_n)同时具有关于数乘的结合律交换律
[ =frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}sum_{i=0}^ninom{n}{i}left(omega_k^jA ight)^i =frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}left(I+omega_k^jA ight)^i ]
有(I+omega_k^jA=egin{bmatrix}omega_k^j+1&omega_k^jomega_k^j&1end{bmatrix})直接快速幂即可

应用

主要就是(FFT)逆变换那奇妙的一步，可以用单位根反演理解

考虑卷积(displaystyle{h(k)=sum_{i,j}[i+j=k]f(i)g(j)})

当(n)足够大时([i+j=k]=[n|i+j-k])

[sum_{i,j}[n|i+j-k]f(i)g(j) =sum_{i,j}frac{1}{n}sum_{t=0}^{n-1}omega_n^{t(i+j-k)}f(i)g(j) =frac{1}{n}sum_{t=0}^{n-1}omega_n^{-tk}F(omega_n^t)G(omega_n^t) ]
(F)和(G)分别表示(f),(g)在(DFT)后对应位置上的取值

循环卷积

定义

悲惨的故事当卷积(displaystyle{h(k)=sum_{i,j}[i+j=k]f(i)g(j)})中的(n)不够大，那么([i+j=k]=[i+jequiv kpmod n])

问题变得诡异起来，( ext{mod})是什么下标操作呢

考虑如果直接(DFT)会发生什么事情，那就是后面的要加到前面来，这是不敢想象的是

因此只能暴力(DFT)

inline void DFT(re cp a[],re char flag){
    re int i,j;re cp now,wn;
    for(i=0;i<n;++i){
        wn=cp(cos(2*i*PI/n),flag*sin(2*i*PI/n));now=cp(0,0);
        for(j=n-1;~j;--j)now=now*wn+a[j];
        res[i]=now;
    }
    if(flag==-1)for(i=0;i<n;++i)res[i].x/=n,res[i].y/=n;
    for(i=0;i<n;++i)a[i]=res[i],res[i]=cp(0,0);
}

其实存在(O(nlg n))的分治乘法