二叉树红黑树

Posted 2021-03-11 teternity

封装基于 BinaryTreeOperations 的 红黑树（一种自平衡的二叉查找树）。

除了提供 BinaryTreeOperations 中的部分基础接口外，增加按键的插入 和 按键或节点指针的删除操作。

在阅读本文前，您应该先了解二叉树中的旋转是怎么回事（相关文章很多且简单，笔者不再赘述）。

 

讲解红黑树的教程很多，但是很多讲解并不足以让读者清楚的学会红黑树，尤其是删除操作，许多教程十分凌乱，因此本文将使用清晰的层次分类及必要的图进行讲解。

 

节点定义：

enum class Color :bool { RED = 0, BLACK };
struct Node
{
    _Ty key;
    Node* left = nullptr;
    Node* right = nullptr;
    Node* parent = nullptr;
    Color color = Color::RED;
    Node(const _Ty& _key) :key(_key) {}
};

 

红黑树的规则：

　　① 每个节点是红色或者黑色。

　　② 根节点是黑色。

　　③ 每个叶子节点是黑色（注意：这里的叶子节点指 为空的叶子节点）。

　　④ 如果一个节点是红色，则它的孩子必须是黑色（或者说支路上不得出现连续的红节点）。

　　⑤ 从任意节点到其叶子节点的所有路径中，所办含的黑色节点数相同（叶子节点同样指为空的节点）。

请务必尽快熟练的记住以上规则（尤其是 ②，④，⑤），尽管这看似复杂，但在应用中正是因为这些特性会使得红黑树没这么难。

 

红黑树的增删操作分为两步：

　　① 按二叉查找树的规则将节点插入到相关位置。

　　② 讨论各种情况，若红黑树失衡则采取相关方法进行调整使之重新恢复平衡。

 

 

插入操作（令插入的节点为 cur，cur 的父节点为 par，par 的兄弟节点为 uncle，par 的父节点为 gpa）：

　　如嵌套 if else 一样，我们将插入情况分为两类（称为外层分类），再根据这两类的 子情况 进行其他分类（称为内层分类）。

　　注意，新插入节点 cur 一定是红色（因为这不会违背规则 ⑤，只有可能违背规则 ① ④，违背 ① 时容易处理，即插入空树时只需将其变为黑色即可）。

　　　　为何宁愿违背 ① ④ 而不宁愿违只背 ⑤（即新插节点是黑色）？（你可以理解为这会更容易实现自平衡，不用过于纠结）。

　　　　插入空树情况比较简单，后文不特地说明该情况。

　　① 外层分类分为：par 是黑色 或 par 是红色。

　　② 内层分类是在 par 是红色 的情况下分类的，这在稍后进行讲解。

　　现在先解决 ①：

　　　　1) par 是黑色时，直接插入即可（这不会打破平衡）。

　　　　2）par 是红色（打破规则 ④），进入 ②。（注：此时 gpa 一定是黑色，看规则 ④）。

　　现在解决 ② （分为 uncle 是红色 或 uncle 是黑色）：

　　　　1）如图 uncle 是红色时（空的黑色节点没有画出）：

　　　　

　　　　　　如图进行变色后将 cur 指向 gpa 的节点，继续执行 1）。

　　　　　　直到 cur 是红色且为根节点时，直接将根节点变黑即可。或者出现 新的 uncle 是黑色 时进入后面的情况。

 　　　　2）uncle 是黑色时分为四类情况（不用担心，原理都一样，分为两类也可以的，这里也可以类似 AVL 树四种旋转情况）该情况调整后便已经平衡，可直接返回。

　　　　　　① 直接看图，图中给出 par 是左孩子的两种情况：

　　　　　　

　　　　　　　　图上P1，以 gpa 右旋（看！是不是类似 AVL 树的 左左_右旋！），并交换 par 和 gpa 的颜色（小的两类情况是：cur 是左孩子还是右孩子）。

　　　　　　　　图下P2，先将 gpa 的左孩子左旋，在将 gpa 右旋（看！是不是类似 AVL 树的 左右_左右旋！），然后交换 cur 和 gpa 的颜色。

 　　　　　　② 接下来，par 是右孩子的两种情况（小的两类情况同样看 cur 是左孩子还是右孩子）。

　　　　　　　　由于 ② 与 ① 是左右对称的情况，因此交给读者自行思考（用 AVL 树的旋转方法类似的话是：右右_左旋 和 右左_右左旋），不需要笔者继续画图了吧！

 

至此，插入操作结束！总结......就不用了吧。接下去是删除操作，情况很多，坐稳扶好！！！（不用慌，笔者会以清晰的层次进行分类说明）。

 

 

删除操作：

　　待续......