二进制状态压缩：应用及例题

Posted 2021-03-11 little-cute-hjr

 

1.位运算：https://www.cnblogs.com/yrjns/p/11246163.html

符号	描述	运算规则
&	与	两个位都为1时，结果才为1
|	或	两个位都为0时，结果才为0
^	异或	两个位相同为0，相异为1
~	取反	0变1，1变0
<<	左移	各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0
>>	右移	各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补0（逻辑右移）

Tips:

(1)&与相当于求交集操作，|相当于求并集操作

(2)位运算中的& | 不同于判断条件中的与和或，也就是if中的条件句要写成a&&b 或 a||b

(3)注意运算的优先级：不知道优先级就加括号就行！优先级：https://baike.baidu.com/item/%E8%BF%90%E7%AE%97%E7%AC%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E7%BA%A7/4752611?fr=aladdin

2.状压操作：

(1)取出整数n在二进制表示下的第k位：(n>>k)&1,将n右移k位得到第k位的数值

(2)取出整数n在二进制表示下的第0~k-1位:n&((1<<k)-1),2^k-1应当表示从0~k-1为所有都为1，高于k位表示0的数，与之and操作取出0~k-1范围内的1

(3)把整数n的第k为取反：n^(1<<k),将第k位赋成1，如果n的第k位为1，则1xor1=0,1->0,如果为0，0xor1=1,0->1；

(4)把n的第k位赋成1：n|(1<<k)强行将2^k并入n中

(5)把n的第k位赋成0：n&(~(1<<k)) 将第k位赋成0，等价于将2^k的补集与n求交集，也就是~(1<<k)与n求交集

(6)判断n中是否有连续的1：(n&(n<<1))||(n&(n>>1)) 分别左移右移判断有无真！

(7)查询n中的第i位是0or1：n&(1<<k) 

(8)将n直接按为取反(保留原有的位数不变): n^=((1<<k)-1)右边的数表示从0-k-1位全为真，和n取反也就是将每一位都取反1

3.例题：最短Hamilton路径

给定一张n个节点的带权无向图，点从0到n-1编号，要求从0到n-1的最短的Hamilton路径。Hamilton路径指的是从0道n-1不重不漏地经过每一个点恰好一次

Brute_force?枚举n个点的全排列，按照给定排列尝试，复杂度：O(n*n!)

可以用状压DP压缩到O(n*2^n)

　　首先，我们如何表示那些节点已经经过，而那些节点还未被经过？我们可以用一个n位的二进制数表示！对于每一位，如果为0则表示尚未经过，1则表示这一位下的节点已经经过了

在任意时刻我们还需要知道当前所在的位置，因此设f[i][j]表示当前经过路径信息为i时，当前位置到j的最短Hamilton路径。其中i∈[0,2^n-1],j∈[1,n]

　　在起点0处时，初始化f[1][0]=0;对于剩下所有的状态，初始化为一个极大值，目标结果是f[2^n-1][n-1]

　　我们可以得到转移方程：f[i][j]=min{f[i^(1<<j)][k]+weight(j,k)}; 其中转移前的状态必定是没有j的，然后任选一个中间节点k作为转移信息

　　其中条件是：(i&(1<<j) )&& (i^(1<<j))&(1<<k) or (i>>j)&1=1 且k属于[0,n] 因为j恰好被经过一次，所以一定是有上一个没有j的状态中转移过来的，则上一个状态的j位应该被赋值为0.同时上一时刻所处的位置是

i xor (1<<j)中任意一个是1的数位k，从而推导出上式。