什么是“代数”？

Posted 2021-03-11 tsingke

什么是代数

代数是什么？此题之大非不才能答。但以“代数”之名话之，以期窥见一斑。
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目录
1. 从“al-jabr”到"algebra"
2. 从“algebra”到“代数”
3. 代的不光是“数”
4. 从数与数之异到“数”与“数”之同
5. 从历史的代数到发展的代数
参考文献

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1. 从“al-jabr”到"algebra"

一些回答提到，“代数”就是用字母代替数。实际上，“代数”这个词翻译自拉丁文algebra，algebra又源于阿拉伯语。

公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子米写了一本代数学著作《Al- Kitāb al-mukhta sar fī hísāb al-jabr wa‘l-muqābala》。“Al-jab”原意为还原，这里表示移项；“wa‘l-muqābala”意为化简，这里表示方程两边同时消去相同的项或合并同类项。书名直译为汉语就是《还原与对消计算概要》。这本书指出，任何一元一次和一元二次方程都能通过移项和化简变成六种基本形式，并给出了这六种基本形式方程的求根公式。这本书在1140年左右由罗伯特译为拉丁文，在欧洲产生巨大影响。
注：关于书名及其演变，我查了几本书，各有出入。但不影响对本文主旨的理解。

到了14世纪，“al-jabr”演变为"algebra"。之后，“wa‘l-muqābala”逐渐被人忘记，而这门学科也就被简称为“algebra”。

由此可见，从词源的角度来说，“algebra”的本义是还原与对消，这门学科研究的是解方程的方法。

花拉子米的《还原与对消计算概要》有一个缺点：完全没有代数符号。一切算法都用文字语言来表达。这本重要的代数学著作却不具备“代数”的特征，今天看来也是有趣。

2. 从“algebra”到“代数”

虽然花拉子米的代数学没有使用符号，但在他之前已经有人将符号引入代数运算。希腊数学家丢番图（250年前后）在《算术》中采用了一套符号表示未知数，并发明了一种记法来写方程式。他使用的符号和记法跟今天有很大不同，但他是用符号表示未知数和方程式的先驱。法国数学家韦达在《分析引论》（1591）中第一次有意识地使用代数字母和符号。笛卡尔在《几何学》（1637）中以a、b、c、d……表示已知量，以x、y、z、w……表示未知量，改进了韦达的符号。至此，代数的符号体系已经比较接近今天我们看到的样子。

尽管贡献代数学名称的花拉子米不会使用符号，用符号代替数还是代数的基本特征。

第一个用“代数”指称这一学科的是英国人Wylie。1847年，他到上海学习中文，后来用汉语写了一本《数学启蒙》（1853），介绍西方的数学。序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之。”

1859年，清代数学家李善兰和Wylie合译英国德·摩根的《Elements of Algebra》（1835），定名《代数学》。“代数”从此成为这门学科的正式中文名称。

1873年，华蘅芳和英国人Fryer合译英国Wallis的《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可任以何记号代之”。这解释了“代数”之名的由来：用符号代替数。

3. 代的不光是数

初中数学中，用字母表示数是从算术到代数的第一次飞跃。到了高中我们发现，字母不光能表示数，还能表示平面向量！

如果只是能用字母表示，倒没有什么稀奇。毕竟我们早就在平面几何中用字母表示点和直线了。稀奇的是，这货不光能用字母表示，还能进行加、减、数乘和点乘的运算。这些运算和实数的运算似乎有相同的地方，似乎又有些不同。

再往后，我们在立体几何中学习了空间向量。这一点都不奇怪。我们继续沿用平面向量中学到的规则，熟练地对它们做加、减、数乘和点乘运算。

尽管在中学数学中向量是以几何形式引进的，然而当你的眼睛离开图形盯着代数式，开始对它们加加减减时，它就已经属于代数了。代数，代的不光是数。

4. 从数与数之异到“数”与“数”之同

现在把目光集中在数上。从自然数到整数，再到有理数，每一次数系的扩充都伴随着一种运算能力的解放。从自然数到整数，减法不再受限制；从整数到有理数，除法不再受限制。（从有理数到实数有点复杂，扩展的不是简单的加减乘除运算，属于分析领域了）

数与数的不同，不单纯表现在元素的区别，还表现在其中不受限制之运算的区别。

回头看向量。学会平面向量的代数运算后，空间向量的代数运算没有任何困难，因为它们完全遵循相同的规则。进一步，当我们只考虑加法、减法和数乘运算时，对向量进行代数运算并不需要额外学习，因为它们和以前学过的运算也遵循相同的规则！

为了说得更清楚，我举一个例子。
如果不加说明，谁能分清这里的a、b表示的是实数、平面向量还是空间向量？

因为实数、平面向量和空间向量三者的运算规则相同，都遵循加法的交换律、结合律，以及数乘对加法的分配律。上面的每一步运算都没有违背规则。所以，这里的a、b既可以是实数，也可以是平面向量，还可以是空间向量。于是，学会三者之中任意一种的运算，也就学会了另外两种。

既然如此，运算对象具体是什么已经不重要了。重要的是能对它做什么运算，以及这些运算遵循什么运算律。这时，代数所代之“数”就不是狭义的数，而是具有某些运算并满足某些运算律的一些对象了。

5. 从历史的代数到发展的代数

“Algebra”的本义是还原与对消，引申为方程术。从历史来看，代数学是对得起这个名称的。直到19世纪初，研究代数方程的解法仍是代数学的全部内容。

19世纪，对五次和五次以上代数方程一般解的研究引入了群和域的概念。群和域都是具有某些运算并满足某些运算律的对象集合。自此，代数学的研究不再局限于代数方程，更多地把眼光放在了各种抽象对象的运算关系上。

“代数”义为用符号代替数，本质上是一个抽象过程：从具体的、确定的数到抽象的、未定的数。这是第一步抽象。当我们把注意力集中于所研究对象的运算和运算律，而忽略所代之“数”的具体类别时，完成了进一步的抽象。

19世纪中叶的Wylie和李善兰在敲定《代数学》之名时恐怕没有想到，代表方程术的“algebra”其时正在化蛹，代表抽象的“代数”如今已然成蝶。21世纪初的我们在思考代数是什么时，恐怕也难以想见未来的代数学会迎来怎样的新生。

参考文献
[1]李文林. 数学史教程[M]. 高等教育出版社，施普林格出版社，2002
[2]梁宗巨. 世界数学史简编[M]. 辽宁人民出版社，1980

参考：https://www.zhihu.com/question/50576405