9.28 排列最小值

Posted 2020-11-14 venividivici

题意

对于一个长度为(n)的排列(a)，我们设变量(tmp)初始为(n+1)，从(1)到(n)枚举，如果(tmp>a_i)，则令(tmp=a_i)

定义一个排列的价值为(tmp)改变的次数的平方

求长为(n)的所有排列的价值之和，取模(998244353)

解法

这题被全场爆切。。然而我没想出来

考虑递推的解法：

设(g[i])为长度为(i)的排列中(tmp)改变次数之和

设(f[i])为长度为(i)的排列中(tmp)改变次数的平方和

考虑从长度为(1)的排列开始逐个向里面添加元素，(f)数组与(g)数组的改变量

首先更新(g)数组

我们可以发现，由于当前添加的元素是整个排列中最大的，所以它一定要放在开头才有贡献，如果放在原来的排列之中，由于(tmp)的第一次改变一定在第一个元素处，而当前元素又一定比第一个元素大，所以(tmp)永远不会再当前元素的位置发生改变

因此，若当前元素插入原排列内部，答案是不会改变的。而元素的插入位置不同，得到的新排列也不同，所以(g[i])首先累加上(g[i-1] imes (i-1))

若当前元素放在开头的位置，则原来所有的排列的答案在其基础上会加一。一共有((i-1)!)个排列，所以答案要增加((i-1)!)。因此
[ g[i]=g[i-1] imes(i-1)+g[i-1]+(i-1)!=g[i-1] imes i+(i-1)! ]
有了(g)数组以后，相应的(f)就比较好推了（把平方式拆开）
[ f[i]=2 imes g[i-1]+i imes f[i-1]+(i-1)! ]

代码

代码没什么好贴的