CF#587Div3

Posted 2020-11-14 vimin

#587Div3

E1

题意

类似这样的数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6......
求第 (n) 项
(n<10^9)

解法

按个数分组，第一组是1 第二组是 1 2 第三组是 1 2 3 第n组是 1 2 3 4 5 ...n
暴力找到在哪个组
再预处理出1-n个数的第几项是0-9中的哪个数
暴力在这个组内，找到答案

100分代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
using namespace std;
int Q,res,cnt,maxx;
int num[500005],p[500005],now[500005];
struct node{
    int id,k,ans;
}q[505];
bool cmp(node a,node b){
    return a.k <b.k ;
}
bool cmp2(node a,node b){
    return a.id <b.id ;
}
int main()
{
    scanf("%d",&Q);
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        scanf("%d",&q[i].k);
        q[i].id =i;
        maxx=max(maxx,q[i].k);
    }
    sort(q+1,q+Q+1,cmp);
    maxx=sqrt(2*maxx)+1;
    for(int i=1;i<=maxx;i++){
        int x=i,cnt=0;
        while(x){
            now[++cnt]=x%10;
            x/=10;
        }
        num[i]=num[i-1]+cnt;
        while(cnt){
            ++res;
            p[res]=now[cnt];
            --cnt;
        }
    }
    int from=1,last=0;
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        while(from<=maxx){
            if(num[from]+last<q[i].k){
                last+=num[from++];
                continue;
            }
            
            q[i].k -=last;
            q[i].ans =p[q[i].k];
            break;
        }
    }
    sort(q+1,q+Q+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=Q;i++) printf("%d ",q[i].ans );
    return 0;
}

E2

n<10^18

• 首先二分在哪个组，然后二分在这个组的哪个位置
• 考虑
• 1
• 1 2
• 1 2 3
• 1 2 3 4
• 1 2 3 4 5
• 1 2 3 4 5 ....9
• 1 2 3 4 5 6 ... 10
• 设位数是 (n)
• 上面这个三角形前x行的位数和，可以通过把位数分类，位数相同的在一类。
• 这样就可以如下图一样求
• 

每一个三角形的数位和是 (j*(9*i)*(9*i+1)/2) ，每个三角形下的矩形面积是 (j*9*i*(x-10*i+1))
(j) 是指这一类数的位数， (i=10^{j-1})
三角形算和相当于是一个等差数列求和

• 注意边界，因为10是算在第二组的

• 然后二分出组后，再二分在组中的位置

• 看下面找规律

1 2 3 4 5 6 7 8 9
(1*9*10^0=1*(9-1+1))

10 11 12 13 14 15 16 .... 99
(2*9*10^1=2*(99-10+1))

100 101 102 103 104 105 106 107 .....999
(3*9*10^3=3*(999-100+1))

(10^x) (10^x+1) (10^x+2) (10^x+3) (...10^{x+1}-1)
((x+1)*9*10^{x+1}=(x+1)*(10^{x+1}-1-10^x+1))

• 令 (i=10^{x},j=x+1)
• 每种数位相同的数有 (9*i*10*j) 个，遇到不是10的整数倍的，就 ((n-i+1)*j) 个

100分代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long 
using namespace std;
ll n,x;
int T;
ll check1(ll x){
    ll now=0;
    for(ll i=1,j=1;i<=x;i*=10,j++){
        if(10*i<=x) now+=(9*i*(x-i*10+1)*j)+j*(9*i*(1+9*i))/2;
        else now+=j*(x-i+1)*(x-i+2)/2;
        if(now>1e18) return 1e18;
    }
    return now;
}
ll check2(ll x){
    ll now=0;
    for(ll i=1,j=1;i<=x;i*=10,j++){
        if(i*10<=x) now+=9*i*j;
        else now+=(x-i+1)*j;
        if(now>1e18) return 1e18;
    }
    return now;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&x);
        ll l=0,r=1e9,mid;
        while(l<=r){//二分组数 
            mid=(l+r)>>1;
            if(check1(mid)<x) l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        x-=check1(r);
        r=l;
        l=1;
        while(l<=r){//二分组中的第几个数 
            mid=(l+r)>>1;
            if(check2(mid)<x) l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        x-=check2(r);
        ll res=l,cnt=0;
        while(res){
            ++cnt;
            res/=10;
        }
        x=cnt-x;
        for(ll i=1;i<=x;i++) l/=10;
        printf("%lld
",l%10); 
    }
    return 0;
}