题解：luogu P1247

Posted 2021-03-10 tlx-blog

大概没你们说得复杂吧......

(Part;1) (Nim)游戏

大家都对异或和感到懵逼吧（排除大佬），其实很简单，用(SG)函数打表计算即可解决：
抛个板子：

void get_sg(int n)
{
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(int j=1;f[j]<=i&&j<=m;j++)
        {
            S[sg[i-f[j]]]=1;    
        }
        for(int k=0;k<=n;k++)
        {
            if(!S[k]) 
            {
                sg[i]=k;
                break;
            }
        }   
    }
}
//S[]代表能被表示的数
//f[]代表可以转移的方法

然后发现(sg[a_i]=a_i)（(a_i)为集合中元素个数），根据博弈论的常识知识即可知道答案。

(Part;2) 取火柴游戏

一眼看出是(Nim)游戏的板子题，于是先上：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[500005];
int sum=0;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum^=a[i];
    if(sum) printf("win
");
    else printf("lose
");
    return 0;
}

这人真粗鲁
不过仔细一看，还需要输出方案，其实也是很水的，证明如下：
我们都知道异或运算是满足结合律的，即(a;xor ;b; xor;c=a;xor(b;xor;c)),
并且(a;xor;a=0),这是为啥？
考虑异或定义： 二进制位相同为(0),不同为(1)，显然同一个数二进制是一模一样的，异或为(0)。
根据上述，可得(s;xor;a;xor;a=s),这也就是说，异或的逆运算是他自己。
不过和这题有啥关系呢？

优化！

我们考虑求出所有数的异或和，每次用异或踢掉一个数，判断其余数的异或和(sum)能否被异或为(0)，显然两数(x,y)异或和为(0)，当且仅当(x=y).

解题

显然如果一个人在他的必胜态操作，使另一个人进入必败态，他就成功了，即异或和为(0)，这样像前缀和一样处理出异或和，然后每次(O(1))的转移就好了。，不过注意踢掉暂时不用的，若未找到姐解，再异或回来。

其他

这题是有些贪心的思路的，显然对一堆火柴操作，只有一个可行解（由于只有相同的数才异或为(0)），问题是如何让堆序最小，那从第一堆开始算就好了，找到的第一组解一定是最优解鸭(qwq)。
粘上简单修改的代码即可，复杂度是(O(N))的，常数较小吧，足以通过此题。

(Code):

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[500005];
int sum=0;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum^=a[i];
    if(sum)
    {
        sum^=a[1];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(sum<=a[i])//找到可行解
            {
                printf("%d %d
",a[i]-sum,i);
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    if(j==i) printf("%d ",sum);
                    else printf("%d ",a[j]);
                }
                return 0;
            }
            sum=sum^a[i]^a[i+1];//这是精髓，注意把试验过的异或回来，把下一个数踢掉
        }
    }
    else printf("lose
");
    return 0;
}

都看了，没个赞不好吧，大佬你觉得呢？