差分前缀

Posted 2020-11-14 soledadstar

差分与前缀

定义一个序列$a$，它的差分序列为$b_n=a_n-a_{n-1}$(后向差分)，前缀和序列为$b_n=b_{n-1}+a_n$，显然，差分与前缀和互为逆运算，这意味着，对差分序列求前缀和就是原序列；同理，对前缀和序列求差分也是原序列。

重要结论

1、如果有了前缀序列，我们就可以O(1)求出$[l,r]$的区间和等于$b_r-b_{l-1}$

2、如果有了差分序列，对$[l,r]$区间加$d$就意味着$b_l+d,b_{r+1}-d$

来看一道题：

对于数列$a$，$Q$次形如$[l,r]$中所有的数$+d$的操作，最后输出改动后的数列

如果你很巨，会树状数组或线段树，Orz

我们仿照2操作，O(1)的时间内对差分序列做修改，因为差分与前缀和互为逆运算，对最后的差分序列做前缀就OK啦。

不仅只能做加法，只要有逆运算的运算都可以差分与前缀和，比如前缀积(乘的逆运算是除)和异或(异或的逆运算是异或)差分。

二维差分与前缀

画个图推推就好了呀

前缀矩阵$b_{i,j}=b_{i-1,j}+b_{i,j-1}-b_{i-1,j-1}+a_{i,j}$。

对$(x_1,y_1)(x_2,y_2)$这个子矩阵$+d$即差分矩阵$b_{x_2,y_2}+d,b_{x_1-1,y_2}-d,b_{x_2,y_1-1}-d,b_{x_1-1,y_1-1}+d$

对$(x_1,y_1)(x_2,y_2)$这个子矩阵即前缀矩阵$b_{x_2,y_2}-b_{x_1-1,y_2}-b_{x_2,y_1-1}+b_{x_1-1,y_1-1}$

其余的：树状数组，树上差分