圆周率 π 展开 为 无穷级数

Posted 2021-03-10 ksongking

圆周率  π  展开 为 无穷级数   其实 很简单，  如图 ：

 

 

 

 

 

可以用   黄色小三角形 和 橙色小三角形，  以及 依此类推 下去 的 无数个 小三角形  来 逼近 圆面积，   把 这个 无限逼近 的 圆面积 称为  S，

 

因为 圆面积 =  π  r  ²        ，    所以，  有    S =  π  r  ²   ，       π  =   S / r  ²        。

 

即  用  无限逼近 的 圆面积    S  除以   r  ²    就是   π ，   因为 S 是 无穷级数，   所以，  S / r  ²   就是   π    的 无穷级数    。

 

将  黄色 小三角形  称为  第 1 层 小三角形，    橙色 小三角形  称为  第 2 层 小三角形   ，    以此类推，    有 第 3 层 、 第 4 层  ……   第 n 层 小三角形，  n -> 无穷 。

 

取  扇形 OAB 的 面积，  记为  S_扇OAB  ，   设  圆 O 半径 为 r，  面积 为 S，     则     S_扇OAB = 1/4 * S = 1/4  *  π  r  ²      。

 

则        π  =   4  *  S_扇OAB  /  r  ²         。

 

所以，  只要 求出   S_扇OAB   的 无穷级数 ，   就可以 得到   π    的 无穷级数    。

 

S_扇OAB  =   S△OAB  +  S△1 +   2 * S△2 +  4 * S△3  + …… +  2^(n - 1) * S△n         ，       n -> 无穷

 

S△OAB  是  三角形 OAB 的 面积，   S△1 是  第 1 层 小三角形 的 面积，   S△2 是  第 1 层 小三角形 的 面积，   S△n 是  第 n 层 小三角形 的 面积，

第 1 层 小三角形 有 1 个，   第 2 层 小三角形 有 2 个，  第 3 层 小三角形  有 4 个，   第 n 层 小三角形 有 2^(n - 1)  个   。