小波多分辨率分析框架

Posted 2021-03-10 byeyear

我们知道，小波分析实际上就是将信号分解为“粗略”的和“精细”的两部分。其中“粗略”部分变化缓慢，获取“粗略”成分可理解为低通滤波；相应的，获取“精细”成分可理解为高通滤波。

为了能将这种分解一级级继续下去，我们需要定义一个子空间序列$V_j$满足如下条件：

（嵌套性）$V_jsubset V_{j+1}$

（稠密性）$overline{cup{V_j}}=L^2 (R)$

（分立性）$cap{V_j}={0}$

（尺度性）$f(x)in V_j Longleftrightarrow f(2^{-j}x) in V_0$

（标准正交基）存在函数$phi in V_0$，${phi (x-k); kin Z}$是$V_0$的标准正交基

从实用角度看，最有用的一类尺度函数是有限支撑的，但这并不是一个理论上的限制。

满足上述条件的空间序列${V_j; jin Z}$和相应的函数$phi$称为依尺度函数$phi$的多分辨率分析。

 

定理1. 设${V_j, jin Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，那么对任一$j in Z$，函数集

${phi_{jk} (x) = 2^{j/2} phi(2^j x-k); k in Z}$

是$V_j$的一个标准正交基。

 

证明思路：考虑利用尺度特性证明${ V_j }$中的函数可以写成${phi (2^{-j} x - k); kin Z}$的线性组合。然后直接利用标准正交的定义证明${ phi_{jk}; k in Z }$是标准正交的。

 

定理2. 设${V_j, jin Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，有下列尺度关系成立：

$phi (x) = sumlimits_{kin Z} p_k phi(2x-k)$，$p_k = 2 int_{-infty}^{infty} phi(x) overline{phi(2x-k)}dx$

进一步，有$phi_{j-1,l}=2^{-1/2}sumlimits_k p_{k-2l} phi_{jk}$

注意有的教材会将$p_k$规范化，此时公式前面的系数有相应的改变。

解释与证明思路：考虑到空间的嵌套性与前述定理，$phi(x)$总是可以写成$phi(2x)$及其移位的线性组合。每个线性项的系数是$phi(x)$在空间${V_1}$的标准正交基上的投影。