组合数
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了组合数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
求(n!)中有多少个质因子p
方法一(非递归)
结论:(n!)中有((frac{n}{p}+frac{n}{p^2}+frac{n}{p^3}+…))个质因子p
时间复杂度:(O(logn))
int cal(int n,int p){
int ans=0;
while(n--){
ans+=n/p;
n/=p;
}
return ans;
}
方法二(递归)
结论:(n!)中质因子p的个数,实际上等于1~n的倍数的个数(frac{n}{p})加上(frac{n}{p}!)中质因子p的个数
int cal(int n,int p){
if(n<p) return 0;
return n/p+cal(n/p,p);
}
应用:(n!)的末尾有几个零即(n!)中因子(10)的个数,而这又等于(n!)中质因子(5)的个数**
组合数的计算(记录已经计算过的C(n,m))
(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1})
递归
时间复杂度:小于(O(n^2))
long long res[67][67];
long long C(long long n,long long m){
if(m == 0 || m == n) return 1;
if(res[n][m] != 0) return res[n][m];
return res[n][m] = C(n-1,m) + C(n-1,m-1); //赋值给res[n][m]并返回
}
递推 将整张表都计算出来(杨辉三角)
时间复杂度:(O(n^2))
long long res[67][67];
const int N = 60;
void calC(){
for(int i=0;i<=N;i++){
res[i][0] = res[i][j] = 1; //初始化边界
}
for(int i=2;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=i/2;j++){
res[i][j] = res[i-1][j] + res[i-1][j-1]; //递推计算 C(i,j)
res[i][i-j] = res[i][j]; //C(i,i-j) = C(i,j)
}
}
}
通过定义式的变形来计算
时间复杂度:(O(m))
long long C(long long n,long long m){
long long ans = 1;
for(long long i=1;i <= m;i++){
ans = ans * (n-m+i) / i; //注意一定要先乘再除
}
return ans;
}
如何计算(C_{n}^{m})%p
方法一:通过递推公式计算
要求:(nleq10000,mleq10000,pleq10^9)
递归:
int res[1010][1010] = {0};
int C(int n,int m,int p){
if(m == 0 || m == n) return 1; //C(n,0) = C(n,n)=1
if(res[n][m] != 0) return res[n][m]; //已经有值
return res[n][m] = (C(n-1,m) + C(n-1,m-1)) % p; //赋值给res[n][m]并返回
}
递推:
const int N = 1010;
void calC(){
for(int i=0;i<=N;i++){
res[i][0] = res[i][j] = 1;//初始化边界
}
for(int i=2;i<=N;i++){
for(int j=0;j<=i/2;j++){
res[i][j] = (res[i-1][j] + res[i-1][j-1]) % p;//递推计算 C(i,j)
res[i][i-j] = res[i][j];//C(i,i-j) = C(i,j)
}
}
}
方法二:根据定义式计算
要求:(nleq10^6,mleq10^6,pleq10^9)
时间复杂度:(O(klogn)),其中k为不超过n的质数个数
递归:
//使用筛法得到素数表prime,注意表中最大素数不得小于n
int prime[maxn];
//计算C(n,m)%p
int C(int n,int m,int p){
int ans = 1;
//遍历不超过n的所有质数
for(int i=0;prime[i] <= n;i++){
//计算C(n,m)中prime[i]的指数c,cal(n,k)为n!中含质因子k的个数
int c = cal(n,prime[i]) - cal(m,prime[i]) - cal(n-m,prime[i]);
//快速幂计算prime[i]^c%p
ans = ans * binaryPow(prime[i],c,p) % p;
}
return ans;
}
方法三:通过定义式变形来计算
情况① (m<p),且p是素数
要求:(nleq10^9,mleq10^5,m<pleq10^9),p是素数
时间复杂度:(O(mlogm))
int C(int n,int m,int p){
int ans = 1;
for(int i=1;i <= m;i++){
ans = ans * (n-m+i) % p;
ans = ans * inverse(i,p) % p; //求i模p的逆元
}
return ans;
}
情况② m任意,且p是素数
要求:(nleq10^9,mleq10^5,pleq10^9),p是素数
时间复杂度:(O(mlogn))
int C(int n,int m,int p){
//ans存放计算结果,numP统计分子中的p比分母中的p多几个
int ans = 1,numP = 0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int temp = n-m+i; //分子
while(temp % p == 0){ //去除分子中的所有p,同时累计numP
numP++;
temp /= p;
}
ans = ans * temp % p; //乘以分子中除了p以外的部分
temp = i;//分母
while(temp % p == 0){ //去除分母中的所有p,同时减少numP
numP--;
temp /= p;
}
ans = ans * inverse(temp,p) % p; //除以分母中除了p以外的部分
}
if(numP > 0) return 0; //分子中p的个数多于分母,直接返回0
else return ans; //分子中p的个数等于分母,返回计算的结果
}
方法四:Lucas定理
要求:(nleq10^18,mleq10^18,pleq10^5),p是素数
int p;
int lucas(int n,int m) {
if(m==0) return 1;
return C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
}
以上是关于组合数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
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