高等数学——复杂函数的求导方法

Posted 2021-03-10 techflow

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上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。

我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。

函数四则运算求导法则

我们假设(u=u(x))和(v=v(x))都在x点有导数，那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质：

[ egin{aligned} left[u(x) pm v(x) ight]'&= u'(x) pm v'(x) left[u(x)v(x) ight]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) left[frac{u(x)}{v(x)} ight] &= frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} (v(x) eq 0) end{aligned} ]

我们来看一下证明过程，熟悉证明过程并不是炫技，除了能加深对公式的理解之外，更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了，也可以临时推导一下，这是学算法和数学很重要的技巧。

我们先来看第一个，第一个很容易证明，我们直接套一下导数的公式即可：

[ egin{aligned} left[u(x) pm v(x) ight]' &= lim_{Delta x o 0} frac{left[u(x+Delta x) pm v(x + Delta x) ight] - left[u(x) pm v(x) ight] }{Delta x} &= lim_{Delta x o 0}frac{u(x+Delta x)}{Delta x} pm lim_{Delta x o 0} frac{v(x+Delta x)}{Delta x} &= u'(x) pm v'(x) end{aligned} ]

第二个式子同样套用公式：

[ egin{aligned} left[u(x)v(x) ight]' &= lim_{Delta x o 0} frac{u(x+Delta x) v(x + Delta x) - u(x) v(x)}{Delta x} &= lim_{Delta x o 0} frac{u(x+Delta x) v(x + Delta x) - u(x)v(x+ Delta x) + u(x)v(x+Delta x) - u(x) v(x)}{Delta x} &= lim_{Delta x o 0} frac{(u(x+Delta x) - u(x))v(x+Delta x) + u(x)(v(x+Delta x) - v(x))}{Delta x} &= lim_{Delta x o 0}v(x+Delta x) frac{u(x+Delta x) - u(x)}{Delta x} + lim_{Delta x o 0}u(x)frac{v(x+Delta x) - v(x)}{Delta x}&=v(x+Delta x)u'(x) + u(x)v'(x) &=u(x)v'(x) + u'(x)v(x) end{aligned} ]

最后是第三个式子的推导，也并不复杂：

[ displaystyle egin{aligned} left[frac{u(x)}{v(x)} ight] &= lim_{Delta x o 0}frac{frac{u(x+Delta x)}{v(x+Delta x)} - frac{u(x)}{v(x)}}{Delta x} &= lim_{Delta x o 0}frac{v(x)u(x+Delta x)-v(x+Delta x)u(x)}{v(x+Delta x)v(x)Delta x} &=lim_{Delta x o 0} &= lim_{Delta x o 0}frac{v(x)u(x+Delta x)-v(x)u(x)+v(x)u(x)-v(x+Delta x)u(x)}{v(x+Delta x)v(x)Delta x} &=lim_{Delta x o 0} frac{frac{u(x+Delta x)-u(x)}{Delta x}v(x)-frac{v(x+Delta x)-v(x)}{Delta x}u(x)}{v(x+Delta x)v(x)}&=frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} end{aligned} ]

反函数求导法则

推导完了四则运算的求导法则，我们再来看一下反函数的求导法则。

我们陷在了看结论，如果函数(x=f(y))在区间(I_y)内单调、可导并且(f'(x)!=0)，那么它的反函数(y=f^{-1}(x))在区间(I_x={x|x=f(y), yin I_y})内也可导，那么：

[left[f^{-1}(x) ight]'=frac{1}{f'(y)}]

关于这个结论的证明很简单，因为(x=f(y))在区间内单调、可导，所以它的反函数(y=f^{-1}(x))存在，并且也单调且连续。

所以:

[ egin{aligned} Delta y=f^{-1}(x+Delta x)-f^{-1}x eq 0 frac{Delta y}{Delta x} = frac{1}{frac{Delta x}{Delta y}}=frac{1}{f'(y)} end{aligned} ]

由于(y=f^{-1}(x))连续，(displaystylelim_{Delta x o 0}Delta y=0)，所以上式成立。

我们来看一个例子：(x=sin y, yin left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2} ight])，则(y=arcsin x)是它的反函数，根据上面的公式，我们可以得到：

[(arcsin x)'=frac{1}{(sin y)'}=frac{1}{cos y}]

由于(cos y= sqrt{1-sin^2 y} = sqrt{1-x^2})，代入上式可以得到：

[(arcsin x)'=frac{1}{sqrt{1-x^2}}]

利用同样的方法，我们还可以求出其他反三角函数的导数，由于这些并不太常用，所以我们就不多介绍了，感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下，我想应该也不难。

复合函数求导

这是最后一个法则，也是本篇文章的重点，因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数，还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果，但是对于一些看起来比较复杂的函数，我们并不能一下写出它们的导数。

比如说：(sin (x^2+3x))，比如(ln (3x -1))等等，这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的，但是我们一下子并不能写出它们的导数，而且要通过导数的定义推导也非常麻烦，对于这些导数就需要用到今天的重头戏，也就是复合函数的求导法则了。

对于复合函数而言，拥有如下法则：如果函数(u=g(x))在点x处可导，并且(y=f(u))在点(u=g(x))处也可导，那么复合函数(y=f[g(x)])在x处可导，它的导数为：

[frac{dy}{dx}=f'(u)cdot g'(x)=frac{dy}{du}cdot frac{du}{dx}]

如果复合函数的数量更多也是一样的，我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以，复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前，我们先来证明一下。

由于(y=f(u))在点u处可导，因此

[displaystylelim_{Delta u o 0}frac{Delta y}{Delta u} = f'(u)]

因为(f'(u))存在，所以我们将它变形为：

[frac{Delta y}{Delta u} = f'(u) + a]

其中a是(Delta u o 0)时的无穷小，我们对两边同时乘上(Delta u)，可以得到：

[Delta y = f'(u)Delta u + acdot Delta u]

上式当中(Delta u)和a都是无穷小，所以当(Delta u o 0)时，(Delta y=0)，我们对上式两边同时除以(Delta x)，得：

[displaystylefrac{Delta y}{Delta x}=f'(u)frac{Delta u}{Delta x} + acdotfrac{Delta u}{Delta x}]

于是：

[displaystyle lim_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x o 0}[f'(u)frac{Delta u}{Delta x}+afrac{Delta u}{Delta x}]]

又根据(u=g(x))在点x处可导，所以有：

[displaystyle lim_{Delta x o 0}frac{Delta u}{Delta x}=g'(x)]

我们代入，就可以得到：

[displaystyle lim_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=f'(u)cdot frac{Delta u}{Delta x}=f'(u)cdot g'(x)]

其实我们都知道相比于公式的证明，公式的运用更加重要，下面我们就来看两个例子，来巩固一下这个链式求导法则：

(y=ln sin 3x)，求(frac{dy}{dx})

我们令(u=3x, g=sin u)

所以：

[ egin{aligned} frac{dy}{dx}&=frac{dy}{dg}cdot frac{dg}{du}cdotfrac{du}{dx}&=frac{1}{g}cdot cos ucdot 3&=3frac{cos 3x}{sin 3x} &=3 cot 3x end{aligned} ]

还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗：

[f( heta) = frac{1}{m}( heta X-Y)^2]

我们来试着学以致用，求一下(f( heta))的导数，在机器学习当中，X和Y都是样本都是已知的参数，要求的是( heta)，所以我们对( heta)求导：

[ egin{aligned} f'( heta) &= frac{1}{m}cdot 2 cdot ( heta X - Y)cdot X &=frac{2}{m}X^T( heta X - Y) end{aligned} ]

这个结果其实就是之前我们说的梯度，梯度本来就是由导数计算得到的，所以理解了链式求导的公式，可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式，相信会有更深刻的体会。

今天的文章篇幅有些长，但是除去证明之后，剩下的内容并不多，重要的是它的应用范围很广，所以希望大家都能学会。

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