P2571 [SCOI2010]传送带——hyl天梦

Posted 2021-03-10 tianmeng-hyl

P2571 [SCOI2010]传送带题解————天梦

如写的不好，请多见谅。

对于这道题，我首先想说，确实困惑了我好久，看网上的各种题解，却都不尽人意，思路早已明白，却不会操作。最后想想，还是觉得自己试着写一个吧。一种思路，与题解的思路不同，但理论上可行，但我当时似乎也不太相信那所谓的“理论”，毕竟自己错过许多次，即使这样仍要相信自己吗？想着，便已经翻到了我所需要的——与自己思路相同的题解。网址是https://blog.csdn.net/qq_42920122/article/details/88622782，什么思路呢？，在这之前，我建议大家，一定要相信自己，接下来让我们一起往下看。

题目

参考网址https://www.luogu.com.cn/problem/P2571

引入

现在请各位读者先抛开这个题，先想这样一个问题，如果在一个平面上，有一个点E和一条线段CD，一般的，如何求得点到线段得最短距离？
这个问题很简单，答案：垂线段最短。所以，如果我们在垂足两侧取点，所得到的答案肯定比垂线段大。如果有一个动点P，从端点C运动到端点D，设在平面直角坐标系中，x为PC的长度，y为PE的长度，那么这个函数是一定是一个形如谷底（山峰）的图像。我们都知道，有单调性时，可以用二分。极值怎么办？答案是三分。
如果不懂三分，请参考其它博客。推荐https://www.cnblogs.com/newpanderking/archive/2011/08/25/2153777.html 我是用的三分并不规范。

思路

有一个小事情大家可以理解一下。在题中，最优解实际上满足在AB上取一点E，在CD上取一点F作为拐点，即AE+EF+FD，为什么？读者可以自己画一画，即使你取两个不在线段上的点，也会有两个在直线上的点可以比原先点更优。

好了，问题来了，两条直线怎么办？如果我们已经确定点E，那么，根据“引入”，我们就可以确定答案了，但是我们并不知道，怎么办？答案：三分AB就可以了。详细看代码。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#define dd double
#define ll long long
#define N 10000100
using namespace std;

dd ans=N;

struct point{
    dd x,y;//存点的坐标
};
point a,b,c,d;
int p,q,r;
const dd eps=1e-8;//精度，我比较习惯于开1e-8;

dd dis(point l,point r)
{
    return sqrt((l.x-r.x)*(l.x-r.x)+(l.y-r.y)*(l.y-r.y));
}//求点l到点r的距离，勾股定理

dd f(point mid2,point midmid)
{
    return dis(mid2,midmid)/r+dis(midmid,d)/q;
}//这个函数是对于AB上的点mid2和在CD上的点midmid，求一下从mid到midmid和midmid到点d的“时间”；

dd Three_CD(point mid2)//三分CD,mid2是已将选好的“E”
{
    dd zanans=N;
    point l,r; l.x=c.x; l.y=c.y; r.x=d.x; r.y=d.y;
    while(dis(l,r)>eps)
    {
        point mid,midmid;
        mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
        midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
        if(f(mid2,mid)<f(mid2,midmid))
        {
            zanans=min(ans,f(mid2,mid));
            r=midmid;
        }
        else
        {
            zanans=min(ans,f(mid2,midmid));
            l=mid;
        }
    }
    return zanans;
}

int main()
{
    cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y>>d.x>>d.y>>p>>q>>r;
    point l,r; l.x=a.x; l.y=a.y; r.x=b.x; r.y=b.y;
    while(dis(l,r)>eps)//三分AB
    {
        point mid,midmid;
        mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
        midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
        dd ans1=Three_CD(mid);
        dd ans2=Three_CD(midmid);//ans1是以mid为E的最优解，ans2同理，看着两个值哪个最优。
        //cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
        ans1=ans1+dis(a,mid)/p;
        ans2=ans2+dis(a,midmid)/p;
        //cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
        if(ans1<ans2)
        {
            ans=min(ans,ans1);
            r=midmid;
        }
        else
        {
            ans=min(ans,ans2);
            l=mid;
        }//更新ans
        //printf("%0.2lf
",ans); 
    }
    printf("%0.2lf",ans); 
    return 0;
}

你以为这就完了，不，没有！

坑点

请大家仔细想想，如若A、B两点重合，会怎么样？ans将会是N！C、D重合是一个道理。do-while可以很好地解决这个问题。
真正AC代码（无注释）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#define dd double
#define ll long long
#define N 10000100
using namespace std;

dd ans=N;

struct point{
    dd x,y;
};
point a,b,c,d;
int p,q,r;
const dd eps=1e-8;

dd dis(point l,point r)
{
    return sqrt((l.x-r.x)*(l.x-r.x)+(l.y-r.y)*(l.y-r.y));
}

dd f(point mid2,point midmid)
{
    return dis(mid2,midmid)/r+dis(midmid,d)/q;
}

dd Three_CD(point mid2)
{
    dd zanans=N;
    point l,r; l.x=c.x; l.y=c.y; r.x=d.x; r.y=d.y;
    do 
    {
        point mid,midmid;
        mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
        midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
        if(f(mid2,mid)<f(mid2,midmid))
        {
            zanans=min(ans,f(mid2,mid));
            r=midmid;
        }
        else
        {
            zanans=min(ans,f(mid2,midmid));
            l=mid;
        }
    }
    while(dis(l,r)>eps);
    return zanans;
}

int main()
{
    cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y>>d.x>>d.y>>p>>q>>r;
    point l,r; l.x=a.x; l.y=a.y; r.x=b.x; r.y=b.y;
    do
    {
        point mid,midmid;
        mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
        midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
        dd ans1=Three_CD(mid);
        dd ans2=Three_CD(midmid);
        //cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
        ans1=ans1+dis(a,mid)/p;
        ans2=ans2+dis(a,midmid)/p;
        //cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
        if(ans1<ans2)
        {
            ans=min(ans,ans1);
            r=midmid;
        }
        else
        {
            ans=min(ans,ans2);
            l=mid;
        }
        //printf("%0.2lf
",ans); 
    }while(dis(l,r)>eps);
    printf("%0.2lf",ans); 
    return 0;
}

好了到这里就结束了。坑点也把我也坑过，这提醒我们要多细想与思考，考虑其特殊性。我就很缺乏这一点。若如有哪里写的不好或写错，敬请各位看官在评论区提出意见。最后，送读者们（虽然并不多）一句话，虽然已经听过多次：

细节决定成败！

现今听来，仍是觉得荡气回肠，掷地有声！