KM算法学习小记：

Posted 2021-03-10 coldchair

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了KM算法学习小记：相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

KM算法用于解决二分图最大权匹配问题，这个问题应该是可以用费用流就解决的。

近期遇到了用KM算法去解不等式的题，虽然转换完后还是可以用费用流做，学习中感觉到顶标挺有用的。

学习自：

https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/71080521

https://www.cnblogs.com/huyufeifei/p/10350763.html

假设我们解决的是最大权完全匹配问题，非完全匹配之后再讨论怎么做。

设(a[i][j])为左边第i个点到右边第j个点的最大边的权值，如果没有就是-inf。

一开始，对左边的点，定义定标(hl[x])，初值为(x)的出边的最大权值，对右边的点，也定义定标(hr[y])，初值为0。

当前的相等子图的定义是：只保留(hl[x]+hr[y]=a[x][y])的边。

算法本质上和匈牙利算法类似，需要为每一个点都找到一个匹配点。

所以流程如下：
枚举左半部分的每一个点x，利用匈牙利算法尝试在当前的相等子图中为x找到一个匹配。

若不能，则找到一个最小的权值D，把已遍历的左边的点的hl-=D，已遍历的右边的点的hr-=D，可以发现左边的点一定比右边的多1（因为x没有匹配点），这样总权值-=D，实现了最小的扩张。

这个权值D就是那些不合法的边中的最小的(hl[x]+hr[y]-a[x][y])。

直接这样写复杂度会被卡到(O(n^4))。

http://uoj.ac/problem/80 这题并过不了。

Code(DFS):

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("
")
using namespace std;

const int N = 405;

int nl, nr, m, x, y, z;
int a[N][N];

const int inf = 1e9;

int hl[N], hr[N], vl[N], vr[N], chox[N], choy[N];
int mi;

int find(int x) {
    vl[x] = 1;
    fo(y, 1, nr) {
        if(vr[y]) continue;
        int t = hl[x] + hr[y] - a[x][y];
        if(!t) {
            vr[y] = 1;
            if(!choy[y] || find(choy[y])) {
                chox[x] = y; choy[y] = x;
                return 1;
            }
        } else mi = min(mi, t);
    }
    return 0;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &nl, &nr, &m);
    fo(i, 1, m) {
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
        a[x][y] += z;
    }
    fo(i, 1, nl) fo(j, 1, nr) hl[i] = max(hl[i], a[i][j]);
    int Nr = nr; nr = max(nr, nl);
    fo(i, 1, nl) {
        while(1) {
            memset(vl, 0, sizeof vl);
            memset(vr, 0, sizeof vr);
            mi = inf;
            if(find(i)) break;
            fo(j, 1, nl) if(vl[j]) hl[j] -= mi;
            fo(j, 1, nr) if(vr[j]) hr[j] += mi;
        }
    }
    ll ans = 0;
    fo(i, 1, nl) ans += hl[i];
    fo(i ,1, nr) ans += hr[i];
    pp("%lld
", ans);
    fo(i, 1, nl) pp("%d ", a[i][chox[i]] ? chox[i] : 0);
}

然后在网上发现还有一种BFS写法，我理解了好久，虽然本质上没有区别。

Code（BFS）：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("
")
using namespace std;

const int N = 405;

int nl, nr, m, x, y, z;
int a[N][N];

const int inf = 1e9;

int hl[N], hr[N], vl[N], vr[N], chox[N], choy[N], sla[N], pre[N];
int mi;

void bfs(int x) {
    memset(sla, 127, sizeof sla);
    memset(pre, 0, sizeof pre);
    memset(vl, 0, sizeof vl);
    memset(vr, 0, sizeof vr);
    int u = 0, nu;
    choy[u] = x;
    do {
        x = choy[u];
        ll D = 1e9;
        vr[u] = 1;
        fo(y, 1, nr) if(!vr[y]) {
            ll t = hl[x] + hr[y] - a[x][y];
            if(t < sla[y]) {
                sla[y] = t;
                pre[y] = u;
            }
            if(sla[y] < D) {
                D = sla[y], nu = y;
            }
        }
        hl[choy[0]] -= D; hr[0] += D;
        fo(i, 1, nr) {
            if(vr[i]) {
                hl[choy[i]] -= D, hr[i] += D;
            } else sla[i] -= D;
        }
        u = nu;
    } while(choy[u]);
    for(; u; u = pre[u])
        choy[u] = choy[pre[u]];
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &nl, &nr, &m);
    fo(i, 1, m) {
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
        a[x][y] += z;
    }
    fo(i, 1, nl) fo(j, 1, nr) hl[i] = max(hl[i], a[i][j]);
    nr = max(nr, nl);
    fo(i, 1, nl) bfs(i);
    ll ans = 0;
    fo(i, 1, nl) ans += hl[i];
    fo(i, 1, nr) ans += hr[i];
    fo(i, 1, nr) chox[choy[i]] = i;
    pp("%lld
", ans);
    fo(i, 1, nl) pp("%d ", a[i][chox[i]] ? chox[i] : 0);
}

问题1：

不完全匹配怎么做？

方法：

(a[x][y])若没有边，则(a[x][y]=0)，且如果左边点比右边点多，则右边要补一些空点，这样当一个点匹配和它没有边的点时，相当于不选。

问题2：
bfs的写法只能用邻接矩阵存边，就是两两点之间一定要有条边，不然UOJ那题的样例就会挂。

这是因为bfs写法的特殊性，读者可以自行理解其中的奥妙（bfs的顺序出来的不一定是最优的增广路）。

问题3：

开头说到的解不等式，下面这题：

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/4010/I

即(x[i]+y[j]>=a[i][j]>=0)

求(sum x+sum y)的最小值。

直接做KM，最后剩下的顶标就是答案，顶标和就是最大权匹配，所以可以直接费用流。