[LCA]倍增法

Posted 2021-03-09 kaike

LCA（least common ancestors）最近公共祖先

指的就是对于一棵有根树，若结点z既是x的祖先，也是y的祖先（不要告诉我你不知道什么是祖先），那么z就是结点x和y的最近公共祖先。

定义到此。

那么怎么求LCA？

对于朴素思想，就是我要一步一步往上爬。。一步一步走。先把结点x和y整到同一深度，然后再一次一个深度的往上查，直到祖先一样才break（明显是个while）

但是，一步一步实在是太慢了，所以不能脚踏实地地走

那么，考虑跳着走，

跳着走的条件就是要满足一步步数尽可能多并且不跳过了。当然你跳过了在一步一步往下找也行啊QWQ

于是，在满足这两个条件的情况下，我们有了LCA算法：

一步条2的n次方。

对于每一步跳跃，我们要预处理一个二维数组f（father）f[x][i]，表示对于当前的x结点，往上跳2^i个祖先，特别的，像数学中的，f[x][0]就是x的一代祖先。于是我们要用一个dfs预处理来解决这个f数组。后面我们会提到；

处理完f数组，那就很简单了。

输入x和y，表示要求结点x和结点y的LCA，那么我们开始求LCA：

对于x和y在不同高度，我们先把他们拉到一个高度，同样不能一步一步走，也要用到f数组。

这里我们要提前了解到一个定理：对于任意一个非零整数，我们都可以将他用2的次幂表示出来。也就是such as  ： 11=2^3+2^1+2^0。这倒也不用证明，就像每个数都可以用二进制表示一样。

接着讲：在把x和y弄到同一高度时，我们要先做的是设x的深度dep要比y的深度dep要大，如果dep[y]>dep[x],那么把他们交换。原因是如果不交换，那么我们需要判断两种情况，用两个if以及几乎相同的代码。。（乱七八糟还占内存）

然后用一个判断    if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];（此时x深度大于y），在这里用外层for循环来枚举i，但是i一定要从大到小！。

那么，类比于x和y的深度的距离，这个瓶子的容积也是同样道理。从2的尽可能大的次幂去找，一旦能找到能接近他们的i，就更新dep[x]，直到相等。类似于无限逼近，最后值相等的过程。如果i相等了，就说明他们的深度已经在同一层了。

与倍增到同一深度的过程相比，倍增找公共祖先也是类似的，但是有一点不同，就是你不知道什么时候找到他们的公共祖先，因此就没有查找的上限，那么就让他们尽可能接近。因此条件改成了这个：

if(f[x][i]!=f[y][i])
        {
            x=f[x][i];y=f[y][i];
        }

在执行完这个语句后，我们成功让x和y变成了某一节点z的左右儿子！

因为左右儿子是最接近但是又不相等的。

那么我们随便取其中一个找爸爸，就找到了LCA。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <set>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <string>
 9 #include <cstring>
10 #include <vector>
11 #include <map>
12 //#include <unordered_map>
13 #define mem( a ,x ) memset( a , x ,sizeof(a) )
14 #define rep( i ,x ,y ) for( int i = x ; i<=y ;i++ )
15 #define lson  l ,mid ,pos<<1
16 #define rson mid+1 ,r ,pos<<1|1
17 using namespace std;
18 typedef long long ll ;
19 typedef pair<int ,int> pii;
20 typedef pair<ll ,int> pli;
21 const int inf = 0x3f3f3f3f;
22 const ll mod=998244353;
23 const int N=1e5+50;
24 int n,xx,yy,m;
25 int Link[5010],len=0,val[5010];
26 int deep[5010];
27 struct node
28 {
29     int y,next,id;
30 }e[N];
31 void insert(int xx,int yy,int id)
32 {
33     e[++len].next=Link[xx];
34     Link[xx]=len;
35     e[len].y=yy;
36     e[len].id=id;
37 }
38 void dfs(int x,int fa)
39 {
40     deep[x]=deep[fa]+1;
41     for(int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++)
42         f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
43     for(int i=Link[x];i;i=e[i].next)
44     {
45         int v=e[i].y;
46         if(v==fa)   continue;
47         f[v][0]=x;
48         dfs(v,x);
49     }
50 }
51 int lca(int x,int y)
52 {
53     if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
54     for(int i=20;i>=0;i--)
55     {
56         if(deep[f[x][i]]>=deep[y])  x=f[x][i];
57         if(x==y)    return x;
58     }
59     for(int i=20;i>=0;i--)
60     {
61         if(f[x][i]!=f[y][i])
62         {
63             x=f[x][i];
64             y=f[y][i];
65         }
66     }
67     return f[x][0];
68 }
69 int main()
70 {
71     scanf("%d",&n);
72     for(int i=1;i<n;i++)
73     {
74         scanf("%d%d",&xx,&yy);
75         insert(xx,yy,i);
76         insert(yy,xx,i);
77     }
78 
79     return 0;
80 }

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