交轨法

Posted 2021-03-09 wanghai0666

前言

交轨法是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法之一。首先选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，然后得到不含参数的方程，此方程即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法[交点轨迹法]。

典例剖析

例1求两条直线(x-my-1=0)和(mx+y-1=0)的交点的轨迹方程。

法1：参数方程法，首先联立两个方程，得到(left{egin{array}{l}{x-my-1=0①}\{mx+y-1=0②}end{array} ight.)

给②式乘以(m)，消(y)得到，(x=cfrac{m+1}{m^2+1})，代入②式得到(y=cfrac{1-m}{m^2+1})

即交点轨迹的参数方程为

[left{egin{array}{l}{x=cfrac{m+1}{m^2+1}}\{y=cfrac{1-m}{m^2+1}}end{array} ight.quad (m为参数)]

或者说我们就可以用参数方法来回答这个问题。

不过我们还是继续完成接下来的任务，重点和难点是消参。

(left{egin{array}{l}{x=cfrac{m+1}{m^2+1}①}\{y=cfrac{1-m}{m^2+1}②}end{array} ight.quad (m为参数))，如何消参，

给①^2+②^2，得到(x^2+y^2=cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=cfrac{2}{m^2+1})，

又(x+y=cfrac{2}{m^2+1})，故(x^2+y^2-x-y=0)。

又当(x=0)且(y=0)时，(m)不存在，

故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。

法2：交轨法，将两个方程分别变形为(my=x-1)和(mx=1-y)，

当(m=0)时，两个方程不能相除，此时得到两个直线的交点为((1，1))；

当(m eq 0)时，两式相除得到(cfrac{my}{mx}=cfrac{x-1}{1-y})，即(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，

变形为(y(1-y)=x^2-x)，整理为(x^2+y^2-x-y=0)，即((x-frac{1}{2})^2+(y-frac{1}{2})^2=cfrac{1}{2})

再分别验证点((1，1))和点((0，1))和点((1，0))都在上述曲线上，但是点((0，0))不应该在轨迹曲线上，

[为什么验证这四个点，原因是由(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，两个横行即分子分母都为零，得到点((0，1))和((1，0))，两个竖行都为零，得到点点((0，0))和((1，1))，]

故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。