GMOJ6293迷宫

Posted 2021-03-09 stoorz

前言

为什么这群神仙跑的这么快。。。(1200ms)的我瑟瑟发抖(qwq)。

题目

题目链接：https://gmoj.net/senior/#main/show/6293

(nleq 5,mleq 200000,Qleq 50000)。

思路

先想一个暴力(dp)怎么做。设(f[i][j][p][q])表示从第(i)行(p)列到第(j)行(q)列的最少步数。那么对于任意一个(k(ileq kleq j))，有
[f[i][j][p][q]=min^{m}_{l=1}(f[i][k][p][l]+f[k+1][j][l][q]+1)]
初始化是将每一列的任意两行的距离记录。
显然，这个做法是针对无修改操作的一种最暴力的区间(dp)。而题目是要求支持修改的，容易发现这个转移式可以改成广义矩阵乘法，而且每次是询问区间的(dp)值，所以考虑用动态(dp)瞎搞。
线段树维护区间矩阵乘法，线段树的每一个结点([l,r])储存一个(m imes m)的矩阵，第(i)行(j)列表示从网格图(l)行(i)列走到(r)行(j)列的最小路径长度。
每次询问时间复杂度为(O(m^3log n))，总时间复杂度为(O(nm^3+Qm^3log n))。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=200010,M=6,Inf=1e9;
int n,m,Q,opt,a[M][N];

struct matrix
{
    int a[M][M];
    
    matrix()
    {
        memset(a,0x3f3f3f3f,sizeof(a));
    }
    
    friend matrix operator *(matrix a,matrix b)
    {
        matrix c;
        for (int i=1;i<M;i++)
            for (int j=1;j<M;j++)
                for (int k=1;k<M;k++)
                    c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]+1);
        return c;
    }
}mat[N];

struct SegTree
{
    int l[N*4],r[N*4];
    matrix f[N*4];
    
    void pushup(int x)
    {
        f[x]=f[x*2]*f[x*2+1];
    }
    
    void build(int x,int ql,int qr)
    {
        l[x]=ql; r[x]=qr;
        if (ql==qr)
        {
            f[x]=mat[ql];
            return;
        }
        int mid=(ql+qr)>>1;
        build(x*2,ql,mid); build(x*2+1,mid+1,qr);
        pushup(x);
    }
    
    void update(int x,int k)
    {
        if (l[x]==k && r[x]==k)
        {
            f[x]=mat[l[x]];
            return;
        }
        int mid=(l[x]+r[x])>>1;
        if (k<=mid) update(x*2,k);
            else update(x*2+1,k);
        pushup(x);
    }
    
    matrix ask(int x,int ql,int qr)
    {
        if (l[x]==ql && r[x]==qr) return f[x];
        int mid=(l[x]+r[x])>>1;
        if (qr<=mid) return ask(x*2,ql,qr);
        if (ql>mid) return ask(x*2+1,ql,qr);
        return ask(x*2,ql,mid)*ask(x*2+1,mid+1,qr);
    }
}seg;

int main()
{
    freopen("maze.in","r",stdin);
    freopen("maze.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&Q);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            for (int k=j;k<=m;k++)
            {
                bool flag=1;
                for (int l=j;l<=k;l++)
                    if (!a[l][i]) flag=0;
                if (flag) mat[i].a[j][k]=mat[i].a[k][j]=k-j;
            }
    seg.build(1,1,n);
    while (Q--)
    {
        scanf("%d",&opt);
        if (opt==1)
        {
            int x,i;
            scanf("%d%d",&x,&i);
            a[x][i]^=1;
            memset(mat[i].a,0x3f3f3f3f,sizeof(mat[i].a));
            for (int j=1;j<=m;j++)
                for (int k=j;k<=m;k++)
                {
                    bool flag=1;
                    for (int l=j;l<=k;l++)
                        if (!a[l][i]) flag=0;
                    if (flag) mat[i].a[j][k]=mat[i].a[k][j]=k-j;
                }
            seg.update(1,i);
        }
        else
        {
            int x,y,xx,yy;
            scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&xx,&yy);
            matrix ans=seg.ask(1,y,yy);
            if (ans.a[x][xx]<Inf) printf("%d
",ans.a[x][xx]);
                else printf("-1
");
        }
    }
    return 0;
}