Colossal Fibonacci Numbers!

Posted 2021-03-09 ac-ac

Colossal Fibonacci Numbers!

1. 链接

2. 题意

   输入两个非负整数a，b和正整数n(0<=a,b<2^64,1<=n<=1000)，你的任务是计算f(a^b)除以n的余数。其中f[0] =0，f[1] = 1,且对于所有的非负整数i，f(i+2) = f(i+1) +f(i)。

3. 分析

   所有计算都是对n取模的，不妨设F[i] = f[i]%n。不难发现，当二元组(f[i],f[i+1])出现重复时，整个序列就开始重复。为什么呢？是由递推序列的性质决定的，f(i+2) = f(i+1) +f(i)。例如，n=3,序列F[i]的前10项为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，第9，10项和前两项完全一样。根据递推公式，第11项会等于第3项，第12项等于第4项......多久会出现重复呢？因为余数最多有n种，所以最多n^2项就会出现重复。设周期为M,则只需计算出F[0]~F[n^2]，然后计算出F(a^b)等于其中的哪一项即可。

4. 代码实现

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   typedef unsigned long long ll;   //此题会爆long long 
   const int maxn = 1e6+5;
   int f[maxn];
   ll ksm(ll a, ll b,int mod){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans*a%mod;
        a = a*a%mod;
        b = b>>1;
    }
    return ans%mod;
   }
   int main(void)
   {
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        ll a,b;
        int n;
        cin >> a >> b >> n;
        if(a==0||n==1){
            cout<<0<<endl;
            continue;
        } 
        int T = 0;
        f[0] = 0;
        f[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n*n; i++){
            f[i] = (f[i-1]+f[i-2])%n;
            if(f[i]==f[1]&&f[i-1]==f[0]){
                T = i-1;
                break;
            }
        }
        int k = ksm(a%T,b,T);
        cout<<f[k]<<endl;
    }
    return 0;
   } 

5. 总结

   取模的时候，特别注意一下1和0这种情况。