史上最简SLAM零基础解读 - Jacobian matrix(雅可比矩阵) → 理论分析与应用详解(Bundle Adjustment)

Posted 2023-03-29 江南才尽，年少无知！

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一、前言

该篇博客主要讲解→雅可比矩阵定义、推导、以及其应用，并且有相应的示例解读
         雅可比在函数行列式方面有一篇著名的论文：《论行列式的形成与性质》(1841)。文中求出了函数行列式的导数公式；还利用函数行列式作工具证明了，函数之间相关或无关的条件是雅克比行列式等于零或不等于零。他又给出了雅可比行列式的乘积定理。
         在该论文中针对 $n$ 个 $n$ 元函数的相关性，提出了所谓的雅可比行列式，如果这个行列式不为 0 ，则这些函数是独立的。因此，他提出的也叫函数行列式。虽然他没有单独提出雅克比矩阵，但是等到后来有了矩阵的概念，人们还是将其称为雅可比矩阵。雅可比行列式是坐标变换理论的基础之一，在数学分析隐函数理论中发挥着重要作用。雅克比矩阵定义如下所示：
$$\begin{array}{rlr}{\mathbf{J}}_F& =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(01)}$$那么这个矩阵是如何来的，又有什么作用呢？不要着急，下面就来一一分析。
 

二、基本理论

1、初步了解

假设 $F:{\mathbb{R}}^{\mathrm{n}}\to {\mathbb{R}}^{\mathrm{m}}$ 是一个从 $n$ 维欧氏空间映射到 $m$ 维欧氏空间的函数。这个函数由 $m$ 个实函数组成：$$y_1\left(x_1,\cdots ,x_n\right),\cdots ,y_m\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\text{\hspace{1em}(02)}$$这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个$m$ 行 $n$ 列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵，如下所示： [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ∂ y m ∂ x 2 ⋯ ∂ y m ∂ x n ] (03) \\colorgreen \\tag03 \\left[\\beginarraycccc \\frac\\partial y_1\\partial x_1 & \\frac\\partial y_1\\partial x_2 & \\cdots & \\frac\\partial y_1\\partial x_n \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\\\ \\frac\\partial y_m\\partial x_1 & \\frac\\partial y_m\\partial x_2 & \\cdots & \\frac\\partial y_m\\partial x_n \\endarray\\right] ⎣ ⎡​∂x1​<