题解 P2642 双子序列最大和

Posted 2021-03-09 zhaohaikun

前言

其实这道题的关键就是在于预处理，其方法类似于 合唱队形

正文

求最大子段和

要想求出双子序列最大和，首先我们要会求出最大子段和

最大子段和的求值方法很简单

定义 (f_i) 为以第 (i) 个数结尾的最大子段和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000010],a[1000010];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    f[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
    int ans=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

求双子序列最大和

那么我们现在可以去求双子序列最大和

怎么求，思路是

如果你去枚举中间的数，然后去算左边的最大子段，再算出右边的最大子段，加起来，用打擂法，求出最大值，你会 (TLE)，毕竟(n<=10^{6})

那怎么办？我们可以预处理

我们可以用 (O(n)) 的时间计算到前 (1) 个数的最大子段，

我们可以用 (O(n)) 的时间计算到后 (i) 个数的最大子段

像这样

cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
f[1]=x[1];
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//更新成最大值
l[n]=x[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//更新成最大值

这里 (f_i) 表示前 (i) 个数中的最大字段和

这里 (l_i) 表示后 (i) 个数中的最大字段和

然后，用 (O(n)) 的时间去枚举中间的数，打擂法求出双子序列最大和

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x[1000010],f[1000010],l[1000010];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
    f[1]=x[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1]+x[i],x[i]);//算最大子段
    for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=max(f[i-1],f[i]);//算最大子段
    l[n]=x[n];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1]+x[i],x[i]);//算最大子段
    for(int i=n-1;i>=1;i--)l[i]=max(l[i+1],l[i]);//算最大子段
    long long ans=f[1]+l[3];
    for(int i=3;i<n;i++)ans=max(ans,f[i-1]+l[i+1]);//枚举中间数
    cout<<ans;
    return 0;
}

后记

这种预处理的方法可以优化我们的时间复杂度，避免重复计算，使我们的程序跑得更快！