数学题目

Posted 2021-03-09 codingplus

如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格. 将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）的正方形. 如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，

     当n=2时，所需的纸片张数为        张；

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S₁，未被盖住的面积为S₂.

①当n=2时，求S₁∶S₂的值；

②是否存在使得S₁=S₂的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解：（1）11；（3分）

（2）①S₁=3×11+1=34，S₂=12×12-34=110，S₁：S₂=17:55；（4分）

②S₁=（12-n）×（2n-1）+n²；S₂=144-（12-n）×（2n-1）-n²，

若S₁=S₂时，（12-n）×（2n-1）+n²=144-（12-n）×（2n-1）-n²，

整理得，则n=4或21．

∵2≤n≤11，

∴n=21舍去，

故n=4．（5分）