53.最大子序和

Posted 2021-03-09 maeryouyou

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

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第一眼看到这道题时，看着那个简单的标签，我不禁陷入沉思。

果然是我太菜了。

除了最简单的暴力遍历法外，我还真没想出其他方法。

下面的两个方法是在网上看见有人总结的，然后自己重新写了一遍

① 扫描法——O(N)

当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。

简洁清晰明了。

好像是《编程珠玑》里的。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int max = nums[0];
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i<nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
            if(sum > max) max = sum;
            if(sum <= 0) sum = 0;
        }
        return max;
    }
};

② 动态规划法——O(N)

设sum[i]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum[i]
= max(sum[i-1] + a[i], a[i])。可以通过判断sum[i-1] + a[i]是否大于a[i]来做选择，而这实际上等价于判断sum[i-1]是否大于0。由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {// 动态规划法
        int sum=nums[0];
        int n=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++) {
            if(n>0)n+=nums[i];
            else n=nums[i];
            if(sum<n)sum=n;
        }
        return sum;
    }
}

讲这么复杂，但其实思想跟扫描法一模一样。