数论分块

Posted 2021-03-08 wifepi

数论分块大致用于处理形如求Σ_(1,n)  (k div i) 的问题

打表易得，(k div i)的值是线性的，因为向下取整，所以会出现值成段的现象，这样我们原先暴力的O(n)的算法可以得到优化

首先我们要知道一个定理

对于（k div i）而言最多有2√k个取值

 

证明：对于 i （1 <= i <= n, 且 i 是整数）而言，i 可以分成两种情况

1. i <= √k ， i 最多有 √k 个取值
2. i >= √k , 那么 （k div i）<= √k，最多有√k个取值

所以我们可以拥有一个O(√k)的复杂度

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对于怎么确定一个块值得左右边界，这里直接给出结论

对于一个块而言，假设左边界为LT，右边界为RT。那么有等式 RT = K / (K / LT)

 

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所以我们就可以形如下式进行操作

 

 for(ll l = 1, r = 0 ; l <= n ; l = r + 1)
    {
        if(k / l) r = min(n, k/(k/l)) ;
        else r = n ;
        do something
    }

 

为了显得这篇文章不那么划水，所以还是要带一题例题

BZOJ 1257

题意就是让我们求 Σ_(1,n) (k mod i)

那么怎么转换到今天的知识呢?

我们都知道 k mod i = k - (k div i) * i 

原式 = n* k - Σ_(1,n) (k div i) * i 

对于一个值块(l , r)而言 (k div i) 的值是确定的，我们可以把它看成常数，这里假设成T，那么对于值块(l , r) 后一块可转换成 (k div i) * Σ_(l,r) i 等差数列求和

这题就搞定了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n, k, ans = 0 ;
int main(int argc, char const *argv[])
{
    scanf("%lld %lld",&n,&k) ;
    ans = k * n ;
    for(ll l = 1, r = 0 ; l <= n ; l = r + 1)
    {
        if(k / l) r = min(n, k/(k/l)) ;
        else r = n ;
        ans -= (k / l) * (r - l + 1) * (l + r) / 2ll ;
    }
    printf("%lld
",ans) ;
    return 0;
}

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