2018四川高考数学(全国卷3)理科21题以泰勒公式为命题背景和它的另类解法的瞎谈

Posted 2020-11-14 xuebajunlutiji

题目： 已知(f(x)=(2+x+ax^2)ln(1+x)-2x)

(2)若(x=0)是(f(x))的极大值点，求实数(a)的值.

想法一：当(m ightarrow 0)时，上图(h(x))在点((m,h(m)))处的二阶泰勒展开(g(x) ightarrow 2+x-dfrac{1}{6}x^2)， 得到(a=-dfrac{1}{6})(还要验证，此处略去)

想法二：还是以泰勒展开的思想来处理

(f'(x)=(1+2ax)ln(1+x)+dfrac{ax^2-x}{1+x}Rightarrow f'(0)=0)恒成立，

(f''(x)=2axln(1+x)+dfrac{1+2ax}{1+x}+dfrac{ax^2+2ax-1}{(1+x)^2}Rightarrow f''(0)=0)恒成立，

(f'''(x)=dfrac{2a}{1+x}+dfrac{2a(x+1)-(1+2ax)}{(1+x)^2}+dfrac{(2ax+2a)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+2ax-1)}{(1+x)^4}Rightarrow f''(0)=6a+1=0)恒成立， 得到(a=-dfrac{1}{6})(还要验证，此处略去)

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和它相似的题(我们的押题)，方法一、二和上面一样，方法三如下

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