黑红树

Posted 2020-11-14 yanshannan

https://zybuluo.com/ysner/note/1177020

题面

(zsy)发现黑红树具有一些独特的性质。

• 这是二叉树,除根节点外每个节点都有红与黑之间的一种颜色。
• 每个节点的两个儿子节点都被染成恰好一个红色一个黑色。
• 这棵树你是望不到头的(树的深度可以到无限大)
• 黑红树上的高度这样定义:[h_{根节点}=0,h_{son}=h_{fa}+1]

(zsy)想从树根顺着树往上爬。他有(frac{p}{q})的概率到达红色的儿子节点,有 (1-frac{p}{q})的概率到达黑色节点。
但是他知道如果自己经过的路径是不平衡的,他会马上摔下来。
一条红黑树上的链是不平衡的,当且仅当红色节点与黑色节点的个数之差大于(1)。
现在他想知道(Q)次他刚好在高度为(h)的地方摔下来的概率的精确值 (frac{a}{b}),要求输出(a),(b)分别对(k)取模后的结果。

• (nleq10^6,Qleq10^6,kleq10^9+7)（(n)代表高度）

  解析

  (zsy)显然不可能在奇数层掉下来，因为他在偶数层时肯定红黑节点个数相等。
  看到奇数层(puts("0 0");)
  对于偶数，设(dp[i])表示在该层活着的概率。（哪像我还把颜色和红黑节点数量差作为状态）
  然后列(DP)转移方程
  [dp[i]=dp[i-2]*frac{p}{q}*frac{q-p}{q}*2]
  （肯定要经过一个红节点和一个黑节点，然后两者可以倒过来，则乘(2)）
  于是第(i)层挂掉的概率为(dp[i-2]-dp[i])。
  这玩意儿可以(O(n))预处理，然后(O(Q))答完询问，总复杂度为(O(n))
  （当然你要(O(Qlogn))在线快速幂我也拦不住)
  对于乘爆情况，先把(frac{2p(q-p)}{q^2})约分掉，保证计算过程中不用约分，就可以直接取模了。