普通莫队

Posted 2021-03-08 emcikem

n个数，区间查询[L,R]出现了几种数字

时间复杂度(O(nsqrt n))

莫队的基本操作就是把n个数进行分块，每一块有(sqrt n)个，有(sqrt n)块，然后离线查询，把查询进行排序，按照分块位置排序，如果在同一个分块，那么就按照右区间排序，然后对于每一个排序进行暴力遍历即可

1. 先进行分块，每块有分成(sqrt n)个,bein[j] = i表示第j个数属于第i个分块

for(int i = 1; i <= ceil((double)n/sqrt(n)); i++)
        for(int j = (i - 1) * sqrt(n) + 1; j <= i * sqrt(n); j++)
            bein[j] = i;

1. 把查询进行离线并排序

struct Query{
    int l,r,id;
}q[maxn];

方法1：先按照查询区域的左区间所处的分块大小排序，如果位与同一个分块，那么久按照右区间排序

bool cmp(Query a,Query b){
    return bein[a.l] == bein[b.l] ? a.r < b.r : bein[a.l] < bein[b.l];
}

方法2：位与同一个奇数块时，按查询右区间进行升序，偶数块时，查询右区间进行降序
在普通排序时，右指针一直往右走，直到最大的右区间，然后再往左走，往左走的一大段路是浪费的，根据下面的优化可以利用好这个左走
那么，如果当前是奇数块，右指针可能到了最右边，当进入下一个分块，也就是偶分块时，那么只需要右指针往左即可

bool cmp1(Query a, Query b) {
    return (bein[a.l] ^ bein[b.l]) ? bein[a.l] < bein[b.l] : ((bein[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}

for(int i = 1; i <= m; i++){
    scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
    q[i].id = i;
}
sort(q + 1,q + m + 1,cmp1);

1. 移动左右指针

首先定义l为左指针，r为右指针,

左指针要初始化为1，右指针初始化为0，如果l = 0，那么先l++,a[1]统计1次，r++，a[1]又被统计1次

对于排序后的每一个查询

while(l < q[i].l)del(l++);//l右移
while(l > q[i].l)add(--l);//l左移
while(r < q[i].r)add(++r);//r右移
while(r > q[i].r)del(r--);//r左移

其中now表示当前查询区域不同数值的个数

void add(int x){//加入操作
    if(cnt[a[x]] == 0)now++;//如果a[x]这个数在之前没有出现过，
    ++cnt[a[x]];//这个数出现了一次
}

void del(int x){//删除操作
    --cnt[a[x]];
    if(cnt[a[x]] == 0)--now;//在这次操作后，[l,r]里，a[x]这个数没出现过了
}

那么

ans[q[i].id] = now;//当前查询区间的值就是now了

1. 输出

for(int i = 1; i <= m; i++)
    printf("%d
", ans[i]);

关于时间复杂度

在while里面右指针是递增的，所以一个分块每次最多(O(n)),(sqrt n)个分块就是(O(nsqrt n))

在while里面左指针每个查询都在一个分块里移动为(sqrt n)，m个查询就是(O(msqrt n))

进行分块(O(n))

输入数据(O(n))

离线查询(O(mlogm))

所以是(O(nsqrt n))

注意

莫队是一个离线算法，不支持在线操作带修改

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
int cnt[maxn],a[maxn];//cnt[i]表示数字i出现的次数，a[]是输入的数
int l = 1,r,now;//l是左指针,r是右指针,now是不同数字的个数
int bein[maxn],ans[maxn];//bein[]分块
void add(int x){//加入操作,右移
    if(cnt[a[x]] == 0)++now;
    ++cnt[a[x]];
}
void del(int x){//删除操作，左移
    --cnt[a[x]];
    if(cnt[a[x]] == 0)--now;
}
struct Query{
    int l,r,id;
}q[maxn];
bool cmp(Query a,Query b){
    return bein[a.l] == bein[b.l] ? a.r < b.r : bein[a.l] < bein[b.l];
}
int cmp1(Query a, Query b) {
    return (bein[a.l] ^ bein[b.l]) ? bein[a.l] < bein[b.l] : ((bein[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r);
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= ceil((double)n/sqrt(n)); i++)
        for(int j = (i - 1) * sqrt(n) + 1; j <= i * sqrt(n); j++)
            bein[j] = i;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int m;
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id = i;
    }
    sort(q + 1,q + m + 1,cmp1);

    for(int i = 1; i <= m; i++){
        while(l < q[i].l)del(l++);//l右移
        while(l > q[i].l)add(--l);//l左移
        while(r < q[i].r)add(++r);//r右移
        while(r > q[i].r)del(r--);//r左移
        ans[q[i].id] = now;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        printf("%d
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

题

统计(sum_{i=1}^{k}c_i^2)
传送门

其中(c_i)表示数字i在([l,r])中出现的次数，k是最大值

cnt[i]记录i出现的次数，那么

如果cnt[a[i]]++, ((x + 1)^2 = x^2+2x + 1)也就是now = now + 2 * cnt[a[i]] + 1

如果cnt[a[i]]--，((x - 1 )^2 =x ^2 -2x + 1)也就是now = now - 2 *cnt[a[i]] + 1

因为是统计出现次数，所以不需要判断是否出现过

void add(int x){
    now += (cnt[a[x]] << 1) + 1;
    cnt[a[x]]++;
}
void del(int x){
    now -= (cnt[a[x]] << 1) - 1;
    cnt[a[x]]--;
}