2020.2.8铁一寒假收官赛题解

Posted 2021-03-08 bigyellowdog

2020.2.8铁一寒假收官赛题解

• 题目均为原题或改编，已得到题主许可
• 出题人：Memoryヾノ战心
• BigYellowDog选手写了份题解，得到出题人许可

T1

• 这道题是一道很经典的简单dp模型（不会dp的可以先去自学简单入个门

• 有O(n方)或者O(nlogn)的做法，数据范围n最大不超200，显然O(n方)算法足矣

• 题目要求最少抽出几本书，可以转化为求最长“舒服样子”序列的元素个数w。答案即为：n-w

• 具体思路就是定义数组dp1[], dp2[]

• dp1[i]表示从左到右看，以第i个位置为结尾，所能构成的 最长舒服序列 的 书数量

• dp2[i]表示从右到左看，以第i个位置为结尾，所能构成的 最长舒服序列 的 书数量

• 转移方法如下：（下面是dp1[]的转移代码，dp2[]同理）

  for(int i=2;i<=n;i++) //枚举i的位置
    for(int j=1;j<i;j++) //枚举j的位置，显然i的上一个人必须在他左边，所以不能超过i
        if(a[i]>a[j]) //必须要i的高度>j的高度才能接上去
            dp1[i]=max(dp1[j]+1,dp1[i]); //如果执行到这里就说明i位置可以接到"以j位置为结尾的序列"上，那么"接"和"不接"俩选择，哪个好就选择哪个

• 如何算答案？只需从1-n枚举每个位置，每个位置的最优答案是dp1[i]+dp2[i]-1（减1是因为位置i统计了两次）。那么最终答案就是(n-取n个位置的最优答案中的最大值)。

• 感觉自己不太擅长揣测没学过dp同学的心理，所以这篇如写得不明白，还请指出。

T2

• 算法是搜索+完全背包dp。（不会的先去自学简单入个门
• 显然数字1卡片必须选，那么下一张选什么呢？

• 通过观察了几组小数据我发现每次要选的数字范围为[上一个选的数+1，上一次能组成的最大面值+1]

• 我不会严谨地证明这个结论，但并不影响做题

• 得出每次选的数范围后，就可以搜索了。搜索思路即每次从范围中选一个数，然后与前面选的数合在一起算出一个最大面值。如果此时的最大面值>记录的最大面值，就将记录的最大面值更新为此时的最大面值。

• 这样做估计有30分（没试过），会超时。问题出在了计算最大面值这一步上，可以用背包来优化。

• 背包思路是定义dp[]，dp[i]表示凑出i这个面值最少需要的卡片数。用完全背包模板算出dp数组，然后从1枚举到一个人为设的很大的数，如果dp[i]>n了，那么此时的最大面值就是i-1

• 此题完全背包代码如下：

• //虽说是模板，但建议要去找资料弄懂为什么
  memset(dp,0x3f,sizeof(dp)),dp[0]=0;
  for(int i=1;i<=fro;i++)
      for(int j=c[i];j<=c[i]*n;j++)
          dp[j]=min(dp[j],dp[j-c[i]]+1);
  for(int i=1;i<=c[fro]*n;i++)
      if(dp[i]>n) return i-1;

T3

• 算法是逻辑分析+贪心
• 我先简化了题意：
  • n条序列，每条序列不严格递增，花1h可以取到其中一个序列的头，对于每个序列必须按顺序取。
  • 问用n个小时最多取到的最大总价值？
• 于是当时我就画图+手玩得出结论：答案即分别将n个小时用到每一条序列，取最优值。
• 这很好理解，要将每个小时发挥最大的价值。显然是选择用到头的金币最大的序列。那么又因为序列越往后越大，所以在原来的江山上继续奋斗肯定比重零开始做人更优对吧
• 严谨的证明不会